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Questão de Matemática — Determinantes — VUNESP 2024

MatemáticaDeterminantes
Código
vu206497
Banca
VUNESP
Órgão
PM SP
Ano
2024
Cargo
Alun Of ( )
Considere as matrizes A = { \begin{bmatrix} x\,\,\,-3\,\,-1\\1\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,\,x\\2\,\,\,\,\,\,1\,\,\,\,3 \end{bmatrix}} e B = { \begin{bmatrix} x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1\\ x+1\,\,\,\,-5 \end{bmatrix}}em que x é um número positivo. Sabendo que os determinantes dessas duas matrizes são ambos iguais a y, o valor de y é
  1. A– 19.
  2. B– 7.
  3. C1.
  4. D8.
  5. E20.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — – 19.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a y = -19 — alternativa A.

A ideia por trás

O determinante é um número associado a uma matriz quadrada que resume, em um só valor, algumas propriedades dela. Para uma matriz 2×2, ele é a diferença entre o produto da diagonal principal e o produto da diagonal secundária. Para uma matriz 3×3, a regra de Sarrus estende essa ideia: repetimos as duas primeiras colunas ao lado da matriz, somamos os produtos das três diagonais que descem da esquerda para a direita e subtraímos os produtos das três diagonais que sobem da direita para a esquerda.

A regra de Sarrus é uma forma prática de calcular o determinante de uma matriz 3×3 sem decorar a fórmula geral. Ela vale apenas para matrizes de ordem 3; para matrizes de ordem 2, usamos a definição direta. O determinante de uma matriz 2×2 [[a, b], [c, d]] é ad - bc. Quando o determinante é igual a zero, a matriz é singular, mas aqui ele é igual a y, que é o que queremos descobrir.

Esta questão pede para calcular os determinantes de duas matrizes em função de x, igualá-los (já que ambos valem y) e resolver a equação resultante. A condição de x ser positivo é crucial para escolher a raiz correta da equação do segundo grau.

O que a questão dá

  • matriz A = [[x, -3, -1], [1, 0, x], [2, 1, 3]]

  • matriz B = [[x, 1], [x+1, -5]]

  • x é um número positivo

  • det(A) = det(B) = y

O que queremos: o valor de y

Passo 1 — Calcular o determinante de A

Precisamos de uma expressão para det(A) em função de x para depois igualar com det(B). Como A é 3×3, usamos a regra de Sarrus.

Por que esta fórmula: A regra de Sarrus é o método padrão para determinante de matriz 3×3: repetimos as duas primeiras colunas, somamos os produtos das diagonais principais e subtraímos os produtos das diagonais secundárias.

det⁡(A)=x⋅0⋅3+(−3)⋅x⋅2+(−1)⋅1⋅1−[(−1)⋅0⋅2+x⋅x⋅1+(−3)⋅1⋅3]\det(A) = x \cdot 0 \cdot 3 + (-3) \cdot x \cdot 2 + (-1) \cdot 1 \cdot 1 - [(-1) \cdot 0 \cdot 2 + x \cdot x \cdot 1 + (-3) \cdot 1 \cdot 3]

De onde vem cada valor: x,−3,−1,1,0,x,2,1,3x, -3, -1, 1, 0, x, 2, 1, 3 = enunciado: matriz A

det⁡(A)=0−6x−1−[0+x2−9]\det(A) = 0 - 6x - 1 - [0 + x^{2} - 9]
det⁡(A)=−x2−6x+8\det(A) = \boxed{-\text{x}^{2} - 6\text{x} + 8}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal dos produtos da diagonal secundária — eles entram com sinal trocado na subtração.

Passo 2 — Calcular o determinante de B

Precisamos da expressão de det(B) em função de x para igualar com det(A). Como B é 2×2, usamos a definição direta.

Por que esta fórmula: Para matriz 2×2, o determinante é o produto da diagonal principal menos o produto da diagonal secundária.

det⁡(B)=x⋅(−5)−1⋅(x+1)\det(B) = x \cdot (-5) - 1 \cdot (x+1)

De onde vem cada valor: x,1,x+1,−5x, 1, x+1, -5 = enunciado: matriz B

det⁡(B)=−5x−x−1\det(B) = -5x - x - 1
det⁡(B)=−6 x−1\det(B) = \boxed{-6\ \text{x} - 1}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de distribuir o sinal de menos: 1·(x+1) = x+1, então subtrair dá -x-1.

Passo 3 — Igualar os determinantes

O enunciado diz que det(A) = det(B) = y, então as duas expressões em função de x são iguais. Igualá-las nos dá uma equação para achar x.

Por que esta fórmula: Igualar as duas expressões é a condição do problema; é isso que conecta as duas matrizes.

−x2−6x+8=−6x−1-x^{2} - 6x + 8 = -6x - 1

De onde vem cada valor: −x2−6x+8-x^{2} - 6x + 8 = passo 1: det(A) · −6x−1-6x - 1 = passo 2: det(B)

−x2−6x+8=−6x−1-x^{2} - 6x + 8 = -6x - 1
x2=9x^{2} = \boxed{9}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a simplificação: somar 6x dos dois lados e depois isolar x².

Passo 4 — Resolver a equação e escolher x positivo

A equação x² = 9 tem duas soluções, mas o enunciado diz que x é positivo, então só uma serve.

Por que esta fórmula: x² = 9 implica x = ±3; a condição x > 0 elimina a raiz negativa.

x=3x = 3

De onde vem cada valor: x2=9x^{2} = 9 = passo 3 · x>0x > 0 = enunciado

x=9=3x = \sqrt{9} = 3
x=3x = \boxed{3}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer a condição x > 0 e usar x = -3, o que daria y = 17, que não está nas alternativas.

Passo 5 — Substituir x para achar y

Com x conhecido, substituímos em qualquer uma das expressões de determinante para obter y.

Por que esta fórmula: Usamos det(B) = -6x - 1, que é mais simples, mas det(A) daria o mesmo resultado.

y=−6⋅3−1y = -6 \cdot 3 - 1

De onde vem cada valor: −6x−1-6x - 1 = passo 2: det(B) · 33 = passo 4: x

y=−18−1y = -18 - 1
y=−19y = \boxed{-19}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a conta final: -18 - 1 = -19, não -17.

Resposta: y = -19 — alternativa A

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