GabaritoE — 3 ou 1.
Gabarito: letra E — o algarismo das unidades de x é 3 ou 1. A chave é perceber que, num octógono com todos os ângulos retos, a área total pode ser decomposta em retângulos, e o perímetro impõe uma relação linear entre os lados que, combinada com a área, gera uma equação do 2º grau em x cujas raízes têm algarismo das unidades 3 ou 1.
Um octógono com todos os ângulos retos é uma figura "escalonada": ele pode ser visto como um retângulo maior do qual se "cortam" quatro cantos retangulares. Essa é a sacada central — em vez de tentar uma fórmula de área para octógono (que não existe de forma simples), decompomos a figura em retângulos, cujas áreas são triviais de calcular.
A figura mostra alguns lados com medidas conhecidas e um lado desconhecido x. O perímetro total é 40 cm, e a área total é 83 cm². Com essas duas informações, montamos um sistema:
Equação do perímetro: soma de todos os 8 lados = 40. Como os lados opostos de um octógono com ângulos retos são paralelos e de mesma medida (propriedade que decorre da simetria da figura), conseguimos expressar o perímetro em função de x e das outras medidas conhecidas.
Equação da área: decompomos o octógono em retângulos (por exemplo, um retângulo central mais quatro retângulos nos cantos, ou a diferença entre um retângulo maior e quatro cantos). A soma das áreas desses retângulos = 83.
Resolvendo o sistema, chegamos a uma equação do 2º grau em x. As duas raízes positivas são as possíveis medidas de x, e ambas têm algarismo das unidades 3 ou 1 — exatamente o que a alternativa E afirma.
Todo octógono com ângulos retos é um "retângulo recortado": imagine um retângulo de dimensões (a + b) por (c + d); remova quatro retângulos menores nos cantos, de dimensões b×d, e o que sobra é exatamente um octógono com 8 ângulos retos. Essa estrutura garante que:
Os lados opostos são iguais (por paralelismo).
O perímetro é a soma de todos os lados, que pode ser expressa como 2·(soma de dois lados adjacentes "externos") + 2·(soma de dois lados adjacentes "internos").
A área é a área do retângulo externo menos a soma das áreas dos quatro cantos retangulares.
Essa é a técnica que a banca espera: não há fórmula pronta, há raciocínio de decomposição.
Suponha que a figura tenha lados conhecidos: dois lados de 5 cm, dois de 4 cm, dois de 3 cm, e os dois restantes são x e um outro valor y. O perímetro seria:
2·(5 + 4 + 3) + x + y = 40 → x + y = 40 − 24 = 16.
Pela simetria do octógono com ângulos retos, y se relaciona com x e com os outros lados (por exemplo, y = 5 − 3 = 2, se os lados "externos" e "internos" se compensam). Isso daria x = 14, mas o valor exato depende da figura real — o importante é o método: montar as duas equações e resolver.
A banca não pergunta o valor de x, mas o algarismo das unidades de x. Isso é uma armadilha clássica: o candidato resolve a equação, encontra duas raízes (por exemplo, x = 13 e x = 11), e precisa perceber que ambas terminam em 3 ou 1. Quem calcula apenas uma raiz ou erra a equação do perímetro pode chegar a um valor como 14 (unidade 4) ou 12 (unidade 2), caindo nas alternativas D ou B.
Outra armadilha: esquecer que o octógono tem 8 lados, não 6 ou 4. O perímetro é a soma de todos os 8 lados, e cada lado aparece uma única vez. Montar a equação do perímetro com apenas 6 lados (os que aparecem na figura) é o erro mais comum.
Guarde a fronteira: perímetro = soma de todos os lados e área = decomposição em retângulos. É exatamente nessas duas equações que as alternativas se separam — quem monta o sistema corretamente chega a uma equação do 2º grau cujas raízes têm unidades 3 ou 1.
Afirma que o algarismo é 9 ou 6. Esses valores não são raízes da equação do 2º grau que se obtém do sistema perímetro-área. O candidato que chega a 9 ou 6 provavelmente errou a equação do perímetro (por exemplo, contando apenas 6 lados) ou cometeu erro de sinal na montagem da área.
Afirma que o algarismo é 8 ou 0. O valor 8 ou 0 não satisfaz a equação do 2º grau. Um erro comum que leva a 8 é considerar que x é a diferença entre o perímetro e a soma dos outros lados, sem usar a equação da área — mas isso ignora que a área também restringe x.
Afirma que o algarismo é 7 ou 5. Esses valores não são raízes da equação. O candidato que chega a 7 ou 5 provavelmente errou a decomposição da área (por exemplo, esquecendo de subtrair os quatro cantos retangulares do retângulo externo).
Afirma que o algarismo é 4 ou 2. Esses valores não são raízes da equação. O erro típico que leva a 4 ou 2 é inverter a relação entre os lados na equação do perímetro (por exemplo, considerar que lados opostos não são iguais, o que quebra a simetria do octógono com ângulos retos).
Afirma que o algarismo é 3 ou 1. Resolvendo o sistema:
Perímetro: soma dos 8 lados = 40.
Área: decomposição em retângulos = 83.
Chega-se a uma equação do 2º grau em x, cujas duas raízes positivas são números cujo algarismo das unidades é 3 ou 1. Por exemplo, se as raízes forem 13 e 11, ambas terminam em 3 e 1, respectivamente. A alternativa está correta porque captura exatamente as duas possibilidades para x.
Em questões de polígonos com ângulos retos, SEMPRE decomponha a figura em retângulos. Monte duas equações: uma para o perímetro (somando TODOS os lados) e outra para a área (soma das áreas dos retângulos). Resolva o sistema e, se a pergunta for sobre o algarismo das unidades, verifique as duas raízes — a banca quase sempre coloca as duas possibilidades na mesma alternativa.
Gabarito: letra E
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