GabaritoD — 12 ≤ k < 19.
Gabarito: letra D. Resolvendo a composição h(k) = f(g(k)), chegamos a uma equação do segundo grau cuja maior raiz real é k = 14, que está no intervalo 12 ≤ k < 19. A resolução envolve substituir g(k) em f(x), igualar a h(k) e aplicar a fórmula de Bhaskara.
A questão combina dois conceitos centrais da álgebra do ensino médio: composição de funções e equação do segundo grau. Vamos por partes.
1. Composição de funções — A notação f(g(k)) significa aplicar primeiro a função g e depois a função f sobre o resultado. Em outras palavras, calculamos g(k) e usamos esse valor como o "x" da função f. É uma operação que "encadeia" duas funções.
2. Montagem da equação — Primeiro, calculamos g(k) = 2k + 7. Depois, substituímos esse valor na expressão de f(x) = 3x² – 5x + 1, no lugar de x. Isso nos dá f(g(k)) = 3(2k + 7)² – 5(2k + 7) + 1. Expandindo e simplificando, obtemos uma expressão do segundo grau em k. Igualando essa expressão a h(k) = 11k² + 100k – 55, chegamos a uma equação do segundo grau.
3. Resolução da equação — A equação resultante é da forma ax² + bx + c = 0. Para encontrar as raízes, usamos a fórmula de Bhaskara: x = (-b ± √Δ) / 2a, onde Δ = b² – 4ac. O discriminante Δ nos diz quantas raízes reais a equação tem: se Δ > 0, duas raízes reais e distintas; se Δ = 0, uma raiz real dupla; se Δ < 0, nenhuma raiz real.
4. A pegadinha — O enunciado pede o maior número real k que satisfaz a igualdade. Como a equação do segundo grau pode ter duas raízes, o candidato pode encontrar ambas e marcar a alternativa que contém a menor, ou errar o sinal na hora de aplicar Bhaskara. A banca explora exatamente essa pressa.
Vamos aos cálculos:
f(g(k)) = 3(2k + 7)² – 5(2k + 7) + 1
Primeiro, expandimos (2k + 7)² = 4k² + 28k + 49.
Substituindo: f(g(k)) = 3(4k² + 28k + 49) – 10k – 35 + 1 = 12k² + 84k + 147 – 10k – 34 = 12k² + 74k + 113.
Agora, igualamos a h(k):
12k² + 74k + 113 = 11k² + 100k – 55
Passando tudo para o lado esquerdo:
12k² – 11k² + 74k – 100k + 113 + 55 = 0
k² – 26k + 168 = 0
Aplicando Bhaskara:
Δ = (-26)² – 4 · 1 · 168 = 676 – 672 = 4
k = (26 ± √4) / 2 = (26 ± 2) / 2
k₁ = (26 + 2) / 2 = 14
k₂ = (26 – 2) / 2 = 12
As raízes são 12 e 14. O maior valor é k = 14, que está no intervalo 12 ≤ k < 19.
O intervalo –11 ≤ k < –3 não contém nenhuma das raízes (12 e 14). O candidato que marcou esta opção provavelmente errou o sinal de algum termo na montagem da equação, obtendo raízes negativas.
O intervalo –3 ≤ k < 6 também não contém as raízes. Novamente, um erro de sinal ou de aritmética na expansão da composição levaria a raízes fora do intervalo correto.
O intervalo 6 ≤ k < 12 contém o valor k = 12, que é uma das raízes, mas não a maior. O enunciado pede explicitamente o maior número real k. Quem marcou esta opção encontrou as duas raízes, mas não atentou para a palavra "maior".
O intervalo 12 ≤ k < 19 contém o valor k = 14, que é a maior raiz da equação k² – 26k + 168 = 0. A resolução completa confirma que k = 14 é a resposta.
O intervalo 19 ≤ k ≤ 24 não contém nenhuma das raízes. Um erro de cálculo na fórmula de Bhaskara, como inverter o sinal do discriminante ou errar a divisão, poderia levar a um valor nesse intervalo.
A chave para resolver esta questão é a atenção aos detalhes: montar corretamente a composição, simplificar a equação e, principalmente, ler o enunciado com cuidado para identificar que se busca a maior raiz. Com treino, esse tipo de questão se torna mecânico.
Gabarito: letra D
Link permanente: /questoes/vu206500