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Questão de Matemática — Geometria Espacial — VUNESP 2024

MatemáticaGeometria Espacial
Código
vu206502
Banca
VUNESP
Órgão
PM SP
Ano
2024
Cargo
Alun Of ( )
A base de uma pirâmide regular FABCD é um quadrado de área 16 cm2. A face FCD dessa pirâmide é base da pirâmide GFCD. A altura da pirâmide GFCD em relação à face FCD é de 3 cm. Sabendo que o volume da pirâmide GFCD 4 10\sqrt{10} é cm3, o volume da pirâmide FABCD éImagem associada para resolução da questão
  1. A32 cm3
  2. B{ \large 64 \over 3} cm^3
  3. C48 cm3
  4. D{ \large 80 \over 3} cm^3
  5. E64 cm3
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 32 cm3

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 32 cm³ — alternativa A.

A ideia por trás

Uma pirâmide é um sólido com uma base poligonal e um vértice fora do plano da base. O volume de qualquer pirâmide é um terço do produto da área da base pela altura, onde a altura é a distância perpendicular do vértice ao plano da base. Nesta questão, temos duas pirâmides encaixadas: a pirâmide FABCD tem base quadrada, e a pirâmide GFCD tem como base uma das faces triangulares da primeira.

A fórmula do volume é V = (1/3) · A_base · h. Ela vale para qualquer pirâmide, independentemente da forma da base. Para a pirâmide FABCD, precisamos da área da base (dada) e da altura (distância de F ao plano do quadrado). Para a pirâmide GFCD, temos o volume e a altura, o que permite achar a área da face FCD. Essa área, por sua vez, relaciona-se com a altura da pirâmide FABCD através da geometria da face triangular.

A questão exige usar o volume da pirâmide menor para descobrir a área da face FCD, depois usar essa área para achar a altura da pirâmide maior, e finalmente calcular o volume pedido.

O que a questão dá

  • área da base quadrada = 16 cm²

  • volume da pirâmide GFCD = 4√10 cm³

  • altura da pirâmide GFCD em relação à face FCD = 3 cm

O que queremos: o volume da pirâmide FABCD

Passo 1 — Achar a área da face FCD

A pirâmide GFCD tem como base a face FCD, e conhecemos seu volume e sua altura. A fórmula do volume permite isolar a área da base, que é exatamente a área do triângulo FCD.

Por que esta fórmula: V = (1/3) · A_base · h é a fórmula geral do volume de qualquer pirâmide. Aqui, a base é o triângulo FCD, então A_base = A_FCD.

AFCD=3⋅VGFCDhGFCDA_{FCD} = \frac{3 \cdot V_{GFCD}}{h_{GFCD}}

De onde vem cada valor: VGFCDV_{GFCD} = enunciado: 4√10 cm³ · hGFCDh_{GFCD} = enunciado: 3 cm

AFCD=3⋅4103=4 √10cm2A_{FCD} = \frac{3 \cdot 4\sqrt{10}}{3} = \boxed{4\ √10 \text{cm}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar por 3 ao isolar a área, obtendo (4√10)/3.

Passo 2 — Calcular o lado do quadrado da base

A face FCD é um triângulo cuja base é o lado CD do quadrado. Para relacionar a área do triângulo com a altura da pirâmide, precisamos saber o comprimento desse lado.

Por que esta fórmula: A área do quadrado é lado ao quadrado, então o lado é a raiz quadrada da área.

l=Aquadl = \sqrt{A_{quad}}

De onde vem cada valor: AquadA_{quad} = enunciado: 16 cm²

l=16=4 cml = \sqrt{16} = \boxed{4\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir área com lado e usar 16 como lado.

Passo 3 — Achar a altura do triângulo FCD

A área do triângulo FCD já é conhecida, e sua base é o lado CD (4 cm). A altura desse triângulo, relativa à base CD, é a distância do vértice F ao lado CD. Essa altura será usada para achar a altura da pirâmide.

Por que esta fórmula: A área de um triângulo é metade do produto da base pela altura. Isolando a altura, temos h = 2·A / base.

hFCD=2⋅AFCDCDh_{FCD} = \frac{2 \cdot A_{FCD}}{CD}

De onde vem cada valor: AFCDA_{FCD} = passo 1: 4√10 cm² · CDCD = passo 2: 4 cm

hFCD=2⋅4104=2 √10cmh_{FCD} = \frac{2 \cdot 4\sqrt{10}}{4} = \boxed{2\ √10 \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar a fórmula da área com base e altura trocadas, ou esquecer o fator 2.

Passo 4 — Relacionar a altura da face com a altura da pirâmide

A pirâmide FABCD é regular, então o vértice F está acima do centro do quadrado. A altura da face FCD, a altura da pirâmide e a distância do centro ao lado CD formam um triângulo retângulo. Precisamos dessa relação para achar a altura da pirâmide.

Por que esta fórmula: No triângulo retângulo, a altura da face é a hipotenusa, a distância do centro ao lado é um cateto (metade do lado do quadrado) e a altura da pirâmide é o outro cateto. Aplicamos Pitágoras.

hpir2+(l2)2=hFCD2h_{pir}^{2} + \left(\frac{l}{2}\right)^{2} = h_{FCD}^{2}

De onde vem cada valor: hFCDh_{FCD} = passo 3: 2√10 cm · ll = passo 2: 4 cm

hpir2+22=(210)2h_{pir}^{2} + 2^{2} = (2\sqrt{10})^{2}
hpir=6 cmh_{pir} = \boxed{6\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar o lado inteiro (4) em vez da metade (2) como cateto.

Passo 5 — Calcular o volume da pirâmide FABCD

Agora temos a área da base (16 cm²) e a altura da pirâmide (6 cm). Basta aplicar a fórmula do volume.

Por que esta fórmula: V = (1/3) · A_base · h é a fórmula geral do volume de pirâmides.

VFABCD=13⋅Abase⋅hpirV_{FABCD} = \frac{1}{3} \cdot A_{base} \cdot h_{pir}

De onde vem cada valor: AbaseA_{base} = enunciado: 16 cm² · hpirh_{pir} = passo 4: 6 cm

VFABCD=13⋅16⋅6=32 cm3V_{FABCD} = \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 6 = \boxed{32\ \text{cm}^{3}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o fator 1/3 e obter 96 cm³.

Resposta: 32 cm³ — alternativa A

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