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Questão de Matemática — Polinômios e Equações Polinomiais. Expansão de Binômios. Triângulo de Pascal — VUNESP 2024

MatemáticaPolinômios e Equações Polinomiais. Expansão de Binômios. Triângulo de Pascal
Código
vu206503
Banca
VUNESP
Órgão
PM SP
Ano
2024
Cargo
Alun Of ( )
Seja P(x) = 3x2 + mx + n, com m, n \in\,\mathbb{R}, um polinômio divisível por (x + 5). Sabendo que o resto da divisão de P(x) por (x – 1) é igual ao resto da divisão de P(x) por (x + 2), a diferença m – n é igual a
  1. A50.
  2. B57.
  3. C63.
  4. D66.
  5. E79.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 63.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a m – n = 63, alternativa C.

A ideia por trás

O Teorema do Resto é um atalho para saber o resto de uma divisão de polinômio por um binômio simples: em vez de fazer a divisão longa, basta substituir o valor que zera o binômio no polinômio. Se dividimos P(x) por (x – a), o resto é P(a). Quando esse resto é zero, dizemos que o polinômio é divisível por (x – a), e a é uma raiz.

A relação central é: resto de P(x) por (x – a) = P(a). Isso vale para qualquer polinômio e qualquer a real. Se o resto é zero, P(a) = 0. Se dois restos são iguais, os valores de P nos respectivos pontos são iguais. Essa relação transforma um problema de divisão em um problema de substituição, que é muito mais rápido.

A questão usa o Teorema do Resto duas vezes: uma para a divisibilidade por (x + 5) e outra para a igualdade dos restos. O desafio é montar o sistema com as duas equações e resolver para m e n.

O que a questão dá

  • P(x) = 3x² + mx + n

  • P(x) é divisível por (x + 5)

  • resto da divisão por (x – 1) é igual ao resto da divisão por (x + 2)

O que queremos: o valor de m – n

Passo 1 — Aplicar o Teorema do Resto na divisibilidade

A primeira condição diz que P(x) é divisível por (x + 5). Isso significa que o resto é zero. Pelo Teorema do Resto, o resto da divisão por (x + 5) é P(–5), pois (x + 5) = (x – (–5)). Então temos P(–5) = 0.

Por que esta fórmula: O Teorema do Resto afirma que o resto da divisão de P(x) por (x – a) é P(a). Aqui, a = –5, então o resto é P(–5). Como a divisão é exata, esse resto é zero.

P(−5)=0P(-5) = 0

De onde vem cada valor: P(−5)P(-5) = definição: substituir x por –5 em P(x) = 3x² + mx + n · −5-5 = constante: valor que zera (x + 5)

3(−5)2+m(−5)+n=03(-5)^{2} + m(-5) + n = 0
75−5m+n=075 - 5m + n = \boxed{0}
NÃO CAIA NESSA!

Usar +5 em vez de –5, pois (x + 5) é (x – (–5)). Isso daria 75 + 5m + n = 0, levando a um sistema errado.

Passo 2 — Isolar n na primeira equação

Com a equação 75 – 5m + n = 0, podemos expressar n em função de m. Isso será útil para substituir na segunda equação.

Por que esta fórmula: Isolamos n para reduzir o número de incógnitas. A equação é linear, então basta passar os termos com m para o outro lado.

n=5m−75n = 5m - 75

De onde vem cada valor: 5m5m = passo 1: da equação 75 - 5m + n = 0, isolando n · −75-75 = passo 1: da equação 75 - 5m + n = 0, isolando n

n=5m−75n = 5m - 75
n=5 m−75n = \boxed{5\ \text{m} - 75}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal ao isolar: n = -5m + 75, o que inverte tudo.

Passo 3 — Aplicar o Teorema do Resto na igualdade dos restos

A segunda condição diz que o resto da divisão por (x – 1) é igual ao resto da divisão por (x + 2). Pelo Teorema do Resto, esses restos são P(1) e P(–2), respectivamente. Então temos P(1) = P(–2).

Por que esta fórmula: O Teorema do Resto novamente: resto por (x – a) é P(a). Para (x – 1), a = 1; para (x + 2), a = –2.

P(1)=P(−2)P(1) = P(-2)

De onde vem cada valor: P(1)P(1) = definição: substituir x por 1 em P(x) · P(−2)P(-2) = definição: substituir x por –2 em P(x)

3(1)2+m(1)+n=3(−2)2+m(−2)+n3(1)^{2} + m(1) + n = 3(-2)^{2} + m(-2) + n
3+m+n=12 −2m+n3 + m + n = \boxed{12\ - 2\text{m} + \text{n}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que (x + 2) tem a = –2, e usar +2, o que daria 12 + 2m + n.

Passo 4 — Simplificar a equação da igualdade

A equação 3 + m + n = 12 – 2m + n tem n dos dois lados, então podemos cancelá-lo e ficar só com m.

Por que esta fórmula: Cancelar termos iguais dos dois lados é uma simplificação algébrica básica.

3+m=12−2m3 + m = 12 - 2m

De onde vem cada valor: 3+m3 + m = passo 3: do lado esquerdo da equação, cancelando n · 12−2m12 - 2m = passo 3: do lado direito da equação, cancelando n

3+m=12−2m3 + m = 12 - 2m
3m=93m = \boxed{9}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de cancelar n e tentar resolver com duas incógnitas.

Passo 5 — Resolver para m

A equação 3m = 9 é simples de resolver, dando o valor de m.

Por que esta fórmula: Isolamos m dividindo ambos os lados por 3.

m=93m = \frac{9}{3}

De onde vem cada valor: 99 = passo 4: da equação 3m = 9 · 33 = constante: coeficiente de m

m=93m = \frac{9}{3}
m=3m = \boxed{3}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a divisão, como achar m = 6.

Passo 6 — Calcular n usando a primeira equação

Com m = 3, substituímos na equação n = 5m – 75 para achar n.

Por que esta fórmula: A equação n = 5m – 75 veio do passo 2, e agora temos o valor de m.

n=5⋅3−75n = 5 \cdot 3 - 75

De onde vem cada valor: 55 = passo 2: da equação n = 5m - 75 · 33 = passo 5: m = 3 · 7575 = passo 2: da equação n = 5m - 75

n=15−75n = 15 - 75
n=−60n = \boxed{-60}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a conta: 15 – 75 = –60, não –50.

Passo 7 — Calcular a diferença m – n

A pergunta pede m – n, então agora é só subtrair os valores encontrados.

Por que esta fórmula: Subtração direta: m – n = 3 – (–60) = 3 + 60.

m−n=3−(−60)m - n = 3 - (-60)

De onde vem cada valor: 33 = passo 5: m = 3 · −60-60 = passo 6: n = -60

m−n=3+60=63m - n = 3 + 60 = \boxed{63}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o sinal de menos: calcular 3 – 60 = –57, ou confundir com m + n.

Resposta: m – n = 63, alternativa C

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