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Questão de Matemática — Divisibilidade, Números Primos, Fatores Primos, Divisor e Múltiplo Comum (MMC) — VUNESP 2024

MatemáticaDivisibilidade, Números Primos, Fatores Primos, Divisor e Múltiplo Comum (MMC)
Código
vu206504
Banca
VUNESP
Órgão
PM SP
Ano
2024
Cargo
Alun Of ( )
Um grupo é formado por 60 turistas, entre homens, mulheres e crianças. O número de crianças no grupo é um a mais do que o quádruplo do número mulheres. Sabendo que nesse grupo há menos do que 7 homens, a diferença entre o número de mulheres e o de homens é igual a
  1. A3.
  2. B4.
  3. C5.
  4. D6.
  5. E7.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 7.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 7 — alternativa E.

A ideia por trás

Este problema mistura equações com inequações. Uma equação é uma igualdade que relaciona quantidades desconhecidas; uma inequação é uma desigualdade que limita os valores possíveis. Aqui, as quantidades são números de pessoas, então só interessam valores inteiros não negativos.

A equação principal vem do total: H + M + C = 60. A relação entre crianças e mulheres, C = 4M + 1, substituída nela, reduz o problema a uma equação com duas incógnitas: H + 5M = 59. Como há menos de 7 homens, H só pode ser 0, 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Testar esses valores é o que revela a solução única.

A questão cobra a combinação de uma equação com uma restrição de inteiros. O passo crucial é perceber que, sem testar os valores possíveis de H, não há como decidir entre as alternativas.

O que a questão dá

  • total de turistas = 60

  • crianças = 4 × mulheres + 1

  • homens < 7

O que queremos: a diferença entre o número de mulheres e o de homens

Passo 1 — Montar a equação do total

Precisamos traduzir o enunciado em linguagem matemática. O total de 60 turistas é a soma de homens, mulheres e crianças, então essa é a primeira relação que usamos.

Por que esta fórmula: É a definição do total: a soma das três categorias.

H+M+C=60H + M + C = 60

De onde vem cada valor: HH = enunciado: número de homens (incógnita) · MM = enunciado: número de mulheres (incógnita) · CC = enunciado: número de crianças (incógnita) · 6060 = enunciado: total de turistas

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de incluir uma das categorias na soma.

Passo 2 — Expressar as crianças em função das mulheres

O enunciado dá uma relação entre crianças e mulheres, então podemos substituir C na equação do total, reduzindo o número de incógnitas.

Por que esta fórmula: É a relação dada: 'um a mais do que o quádruplo do número de mulheres'.

C=4M+1C = 4M + 1

De onde vem cada valor: 4M4M = enunciado: quádruplo do número de mulheres · 11 = enunciado: um a mais

NÃO CAIA NESSA!

Inverter a relação, escrevendo C = 4(M+1) ou C = 4M - 1.

Passo 3 — Substituir e simplificar a equação

Com C substituído, a equação do total fica com apenas duas incógnitas, H e M, o que é mais fácil de analisar.

Por que esta fórmula: Substituição direta na equação do passo 1.

H+M+(4M+1)=60H + M + (4M + 1) = 60

De onde vem cada valor: HH = passo 1 · MM = passo 1 · 4M+14M + 1 = passo 2

H+M+4M+1=60H + M + 4M + 1 = 60
H+5M=59H + 5M = \boxed{59}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a soma de M com 4M, escrevendo 4M em vez de 5M.

Passo 4 — Listar os valores possíveis de homens

A condição 'menos de 7 homens' restringe H a poucos valores inteiros. Como H é uma quantidade de pessoas, também não pode ser negativo.

H∈0,1,2,3,4,5,6\boxed{H ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que H pode ser 0, ou incluir 7 (pois é 'menos de 7', não 'menos ou igual').

Passo 5 — Testar cada valor de H na equação

Com a equação H + 5M = 59, para cada H possível calculamos M e verificamos se é inteiro. Só valores inteiros de M fazem sentido para número de pessoas.

Por que esta fórmula: Isolamos M na equação do passo 3: M = (59 - H)/5.

M=59−H5M = \frac{59 - H}{5}

De onde vem cada valor: 5959 = passo 3 · HH = passo 4

H=0:M=11,8;H=1:M=11,6;H=2:M=11,4;H=3:M=11,2;H=4:M=11;H=5:M=10,8;H=6:M=10,6H=0: M=11{,}8; H=1: M=11{,}6; H=2: M=11{,}4; H=3: M=11{,}2; H=4: M=11; H=5: M=10{,}8; H=6: M=10{,}6

H = 4, M = 11

NÃO CAIA NESSA!

Parar no primeiro valor que parece razoável sem verificar se M é inteiro.

Passo 6 — Calcular a diferença pedida

A pergunta é a diferença entre mulheres e homens, então subtraímos os valores encontrados.

Por que esta fórmula: Diferença é subtração: M - H.

M−HM - H

De onde vem cada valor: MM = passo 5: 11 · HH = passo 5: 4

11−4=711 - 4 = \boxed{7}
NÃO CAIA NESSA!

Calcular H - M em vez de M - H, o que daria -7.

Resposta: 7 — alternativa E

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