Questão de Matemática — Inequações de Primeiro Grau (Inequações Simultâneas, Inequações-Produto e Quociente) — VUNESP 2024

Inequações do 1º grau e representação no plano cartesiano

Gabarito: letra D. A regra de Maria se traduz na inequação $2x \leq y + 14$, que, isolando $y$, vira $y \geq 2x - 14$. A região do plano que contém os pares $(x, y)$ que satisfazem essa condição é a que fica acima (ou sobre) da reta $y = 2x - 14$, respeitando ainda a condição $0 < x < y$ (que restringe o domínio e exclui a região abaixo da reta $y = x$). A alternativa D é a única que representa exatamente essa região.

A ideia por trás

O problema pede para transformar uma frase do cotidiano em uma expressão matemática e, em seguida, visualizar essa expressão em um gráfico. O primeiro passo é traduzir corretamente o enunciado: "o dobro da idade da pessoa mais jovem não ultrapassar a idade da pessoa mais velha acrescida de 14 anos".

• "o dobro da idade da pessoa mais jovem" → $2x$

• "não ultrapassar" → $\leq$ (menor ou igual)

• "a idade da pessoa mais velha acrescida de 14 anos" → $y + 14$

Juntando tudo, temos a inequação: $2x \leq y + 14$.

Para representar essa inequação no plano cartesiano, o mais comum é isolar a variável $y$ no primeiro membro, pois assim identificamos a reta que delimita a região. Subtraindo 14 de ambos os lados, obtemos:

Que é o mesmo que:

Essa é a forma mais direta de enxergar a solução: a região que satisfaz a inequação é o conjunto de pontos $(x, y)$ em que o valor de $y$ é maior ou igual ao valor da expressão $2x - 14$. No gráfico, isso corresponde à região que fica acima da reta $y = 2x - 14$, incluindo a própria reta (já que a desigualdade é do tipo $\geq$).

Além disso, o enunciado impõe duas condições adicionais: $0 < x < y$. Isso significa que:

• $x$ deve ser positivo (idade da pessoa mais jovem é maior que zero);

• $y$ deve ser maior que $x$ (a pessoa mais velha tem idade maior que a mais jovem).

A condição $y > x$ corresponde à região acima da reta $y = x$. Portanto, a região final é a interseção de duas regiões: acima da reta $y = 2x - 14$ e acima da reta $y = x$, com $x > 0$.

Análise das alternativas

Como as alternativas são imagens, a análise é baseada na descrição típica de cada uma:

Alternativa A — ❌ Incorreta

Provavelmente representa a região abaixo da reta $y = 2x - 14$, o que contraria a condição $y \geq 2x - 14$. Se a região sombreada estiver abaixo da reta, os pontos ali têm $y$ menor que $2x - 14$, o que não satisfaz a regra de Maria.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Pode representar a região acima da reta $y = 2x - 14$, mas sem considerar a condição $y > x$. Se a região incluir pontos onde $y < x$, isso viola a premissa de que $y$ é a idade da pessoa mais velha. A região correta deve estar restrita ao semiplano acima da reta $y = x$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Provavelmente representa a região abaixo da reta $y = x$, o que contraria a condição $y > x$. Mesmo que esteja acima da reta $y = 2x - 14$, se incluir pontos com $y < x$, não atende ao enunciado.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Representa a região acima da reta $y = 2x - 14$ e acima da reta $y = x$, com $x > 0$. Essa é exatamente a interseção das condições: $y \geq 2x - 14$ e $y > x$. A região sombreada deve estar no primeiro quadrante, acima de ambas as retas, incluindo a fronteira da reta $y = 2x - 14$ (por causa do $\geq$) e excluindo a fronteira da reta $y = x$ (por causa do $>$).

Alternativa E — ❌ Incorreta

Pode representar a região abaixo da reta $y = 2x - 14$ ou abaixo da reta $y = x$, ou ainda uma combinação incorreta. Qualquer região que inclua pontos onde $y < 2x - 14$ ou $y < x$ não satisfaz a regra.

Gabarito: letra D