Questão de Matemática — Geometria Espacial — VUNESP 2024

Volume da pirâmide e do cubo

Gabarito: letra B — o volume do líquido é $V = \frac{1}{3} \cdot 4^2 \cdot 6 = 32\ \text{cm}^3$. Esse volume corresponde a $\frac{2}{3}$ da capacidade do cubo, então o volume do cubo é $V_{cubo} = 32 \cdot \frac{3}{2} = 48\ \text{cm}^3$. Como o volume do cubo é $x^3$, temos $x^3 = 48$, logo $x = \sqrt[3]{48} = 2\sqrt[3]{6}$.

O problema envolve dois sólidos: uma pirâmide quadrangular reta (o copo) e um cubo (o recipiente). O volume de uma pirâmide é dado por um terço do produto da área da base pela altura. A base é um quadrado de aresta 4 cm, então a área da base é $4^2 = 16\ \text{cm}^2$. Multiplicando pela altura 6 cm e dividindo por 3, obtemos o volume do líquido: $V = \frac{16 \cdot 6}{3} = 32\ \text{cm}^3$.

O enunciado afirma que esse volume ocupa $\frac{2}{3}$ da capacidade do cubo. Isso significa que $32$ é $\frac{2}{3}$ do volume total do cubo. Para encontrar o volume total, dividimos 32 por $\frac{2}{3}$, o que equivale a multiplicar por $\frac{3}{2}$: $V_{cubo} = 32 \cdot \frac{3}{2} = 48\ \text{cm}^3$.

O volume de um cubo de aresta $x$ é $x^3$. Igualando a 48, temos $x^3 = 48$. Fatorando 48, obtemos $48 = 8 \cdot 6 = 2^3 \cdot 6$. Portanto, $x = \sqrt[3]{2^3 \cdot 6} = 2\sqrt[3]{6}$.

A pegadinha clássica dessa questão é inverter a fração: muitos alunos, ao verem que o líquido ocupa $\frac{2}{3}$ do cubo, calculam $V_{cubo} = 32 \cdot \frac{2}{3}$ em vez de $32 \cdot \frac{3}{2}$, obtendo um valor errado. Outra armadilha é errar na fatoração de 48, esquecendo que $\sqrt[3]{48} = \sqrt[3]{8 \cdot 6} = 2\sqrt[3]{6}$.

Guarde a sequência: calcular o volume da pirâmide → relacionar com a fração da capacidade do cubo → extrair a raiz cúbica. É exatamente nesses três passos que as alternativas se separam.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$3\sqrt[3]{4}$: esse valor seria obtido se o volume do cubo fosse $27 \cdot 4 = 108$, o que não corresponde a nenhuma etapa do cálculo. Provavelmente o candidato errou ao calcular o volume da pirâmide ou ao relacionar a fração.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

$2\sqrt[3]{6}$: como demonstrado, $x^3 = 48 = 8 \cdot 6$, logo $x = \sqrt[3]{48} = 2\sqrt[3]{6}$. É o valor que satisfaz todas as condições do enunciado.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$3\sqrt[3]{6}$: esse valor resultaria de $x^3 = 27 \cdot 6 = 162$, que não é o volume do cubo. O candidato pode ter confundido o coeficiente ao extrair a raiz cúbica.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$2\sqrt[3]{4}$: esse valor viria de $x^3 = 8 \cdot 4 = 32$, que é o volume do líquido, não o volume do cubo. O erro está em não aplicar a fração $\frac{2}{3}$ corretamente.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$4\sqrt[3]{4}$: esse valor corresponderia a $x^3 = 64 \cdot 4 = 256$, muito maior que o volume real. Provavelmente o candidato multiplicou o volume do líquido por um fator incorreto.

Gabarito: letra B