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Questão de Matemática — Função de Segundo Grau — VUNESP 2024

MatemáticaFunção de Segundo Grau
Código
vu206508
Banca
VUNESP
Órgão
UNESP
Ano
2024
Cargo
V - - Vest ( )
O setor financeiro de uma indústria fabricante de produtos químicos notou que, com preços unitários de R$ 5,00 e R$ 6,00 por litro de determinado produto, as vendas mensais são, respectivamente, iguais a 2 800 litros e 2 000 litros. Com esses dados, o setor de análise quantitativa da indústria propôs modelar a relação entre o preço por litro x, em reais, e a quantidade f(x) de litros vendidos mensalmente por meio da função quadrática f(x) = 100x2 + bx + c, sendo b e c constantes reais a serem determinadas.   De acordo com esse modelo, o preço por litro desse produto que resulta no menor número de litros vendidos mensalmente é
  1. AR$ 9,40.
  2. BR$ 9,45.
  3. CR$ 9,55.
  4. DR$ 9,60.
  5. ER$ 9,50.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — R$ 9,50.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a R$ 9,50 — alternativa E.

A ideia por trás

A função quadrática descreve uma parábola, uma curva em formato de U (ou de ∩). O coeficiente a determina a abertura: se a > 0, o U é para cima e a curva tem um ponto mais baixo, chamado vértice; se a < 0, o U é para baixo e o vértice é o ponto mais alto. O vértice é o ponto onde a função atinge seu valor mínimo (ou máximo) e sua coordenada x é dada por x_v = -b/(2a).

A fórmula do vértice x_v = -b/(2a) vem da derivada da função: no ponto de mínimo ou máximo, a inclinação da curva é zero. O sinal de a decide se é mínimo (a > 0) ou máximo (a < 0). Nesta questão, a = 100 > 0, então o vértice é o ponto de menor venda.

Precisamos encontrar b e c usando os dois pontos dados, depois aplicar a fórmula do vértice para achar o preço que minimiza as vendas.

O que a questão dá

  • preço de R$ 5,00 → venda de 2800 litros

  • preço de R$ 6,00 → venda de 2000 litros

  • modelo: f(x) = 100x² + bx + c

O que queremos: o preço por litro que minimiza a quantidade vendida

Passo 1 — Montar as equações com os pontos dados

Temos dois pares (preço, quantidade) que satisfazem a função. Substituindo x e f(x) na fórmula, obtemos duas equações com b e c desconhecidos. Isso nos permite resolver o sistema.

Por que esta fórmula: A função é f(x) = 100x² + bx + c. Para x = 5, f(5) = 2800; para x = 6, f(6) = 2000. Substituímos diretamente.

f(5)=100⋅52+b⋅5+c=2800f(5) = 100 \cdot 5^{2} + b \cdot 5 + c = 2800

De onde vem cada valor: 100100 = enunciado: coeficiente a · 55 = enunciado: preço R$ 5,00 · 28002800 = enunciado: venda correspondente

2500+5b+c=28002500 + 5b + c = 2800
5b+c=3005b + c = \boxed{300}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de elevar 5 ao quadrado antes de multiplicar por 100

Passo 2 — Montar a segunda equação

Precisamos de duas equações para achar duas incógnitas (b e c). O segundo ponto fornece a outra equação.

Por que esta fórmula: Mesma função, agora com x = 6 e f(6) = 2000.

f(6)=100⋅62+b⋅6+c=2000f(6) = 100 \cdot 6^{2} + b \cdot 6 + c = 2000

De onde vem cada valor: 100100 = enunciado: coeficiente a · 66 = enunciado: preço R$ 6,00 · 20002000 = enunciado: venda correspondente

3600+6b+c=20003600 + 6b + c = 2000
6b+c=−16006b + c = \boxed{-1600}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir a ordem: f(6) = 2000, não 2800

Passo 3 — Subtrair as equações para achar b

As duas equações têm o termo c igual. Subtraindo uma da outra, o c se cancela e sobra uma equação só com b.

Por que esta fórmula: Subtração de equações lineares: (6b + c) - (5b + c) = -1600 - 300.

(6b+c)−(5b+c)=−1600−300(6b + c) - (5b + c) = -1600 - 300

De onde vem cada valor: 6b+c6b + c = passo 2 · 5b+c5b + c = passo 1 · −1600-1600 = passo 2 · 300300 = passo 1

b=−1900b = -1900
b=−1900b = \boxed{-1900}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal ao subtrair: -1600 - 300 = -1900, não -1300

Passo 4 — Calcular o vértice da parábola

Com b conhecido, aplicamos a fórmula do vértice para achar o preço que minimiza as vendas. Como a = 100 > 0, o vértice é o ponto de mínimo.

Por que esta fórmula: A fórmula x_v = -b/(2a) dá a coordenada x do vértice, que é o ponto de mínimo quando a > 0.

xv=−b2ax_v = -\frac{b}{2a}

De onde vem cada valor: bb = passo 3: -1900 · aa = enunciado: 100

xv=−−19002⋅100=9,50x_v = -\frac{-1900}{2 \cdot 100} = \boxed{9{,}50}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o sinal de menos na fórmula, resultando em -9,50

Resposta: R$ 9,50 — alternativa E

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