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Questão de Matemática — Exercícios envolvendo Velocidade, Espaço, Tempo — VUNESP 2024

MatemáticaExercícios envolvendo Velocidade, Espaço, Tempo
Código
vu206510
Banca
VUNESP
Órgão
UNESP
Ano
2024
Cargo
V - - Vest ( )
A figura indica um relógio de dois ponteiros. O ponteiro grande leva 1 minuto para dar uma volta completa. O ponteiro pequeno é 3 vezes mais rápido que o grande. Na situação em que os ponteiros partem juntos do zero, girando em sentido horário, eles ficarão em sentidos opostos pela primeira vez apósImagem associada para resolução da questão
  1. A21 segundos.
  2. B18 segundos.
  3. C12 segundos.
  4. D15 segundos.
  5. E24 segundos.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 15 segundos.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 15 segundos — alternativa D.

A ideia por trás

Quando dois móveis giram no mesmo sentido, o que importa para saber quando ficam em determinada posição relativa é a velocidade relativa — a diferença entre as velocidades de cada um. Aqui, o ponteiro grande dá 1 volta por minuto e o pequeno, sendo 3 vezes mais rápido, dá 3 voltas por minuto.

A velocidade relativa é v_rel = v_pequeno - v_grande = 3 - 1 = 2 voltas por minuto. Isso significa que, a cada minuto, o ponteiro pequeno se adianta 2 voltas completas em relação ao grande. Para que fiquem em sentidos opostos, a diferença de posição entre eles deve ser de meia volta (180°), ou seja, 1/2 volta.

Esta questão pede o tempo para que a diferença de posição atinja meia volta, usando a velocidade relativa. A fórmula tempo = diferença de posição desejada ÷ velocidade relativa resolve o problema.

O que a questão dá

  • ponteiro grande: 1 volta por minuto

  • ponteiro pequeno: 3 vezes mais rápido que o grande

  • partem juntos do zero, sentido horário

O que queremos: o tempo até os ponteiros ficarem em sentidos opostos pela primeira vez

Passo 1 — Calcular a velocidade do ponteiro pequeno

Precisamos saber a velocidade de cada ponteiro para depois compará-los. O enunciado já dá a do grande e a relação entre eles.

Por que esta fórmula: O ponteiro pequeno é 3 vezes mais rápido que o grande, então multiplicamos a velocidade do grande por 3.

vpequeno=3×vgrandev_{pequeno} = 3 \times v_{grande}

De onde vem cada valor: vgrandev_{grande} = enunciado: 1 volta por minuto

vpequeno=3×1=3 voltasporminutov_{pequeno} = 3 \times 1 = \boxed{3\ \text{voltas} \text{por} \text{minuto}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar e usar 1 volta/min para o pequeno também.

Passo 2 — Achar a velocidade relativa entre os ponteiros

Como ambos giram no mesmo sentido, o que interessa é o quanto um se adianta em relação ao outro. A velocidade relativa é a diferença entre as velocidades.

Por que esta fórmula: Para móveis no mesmo sentido, a velocidade relativa é a subtração das velocidades: v_rel = v_pequeno - v_grande.

vrel=vpequeno−vgrandev_{rel} = v_{pequeno} - v_{grande}

De onde vem cada valor: vpequenov_{pequeno} = passo 1: 3 voltas/min · vgrandev_{grande} = enunciado: 1 volta/min

vrel=3−1=2 voltasporminutov_{rel} = 3 - 1 = \boxed{2\ \text{voltas} \text{por} \text{minuto}}
NÃO CAIA NESSA!

Somar as velocidades (3+1=4) em vez de subtrair, pois eles giram no mesmo sentido.

Passo 3 — Determinar a diferença de posição necessária

Sentidos opostos no relógio significa que os ponteiros estão separados por meia volta, ou seja, 180°. Essa é a diferença de posição que a velocidade relativa precisa acumular.

Por que esta fórmula: Uma volta completa corresponde a 360°, então meia volta é 180°, que em fração de volta é 1/2.

Δθ=12 volta\Delta \theta = \frac{1}{2} \text{ volta}

De onde vem cada valor: Δθ\Delta \theta = definição: sentidos opostos = 180° = meia volta

Δθ=0,5=0,5 volta\Delta \theta = 0{,}5 = \boxed{0{,}5\ \text{volta}}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir sentidos opostos com mesma posição (0 volta) ou perpendicular (1/4 volta).

Passo 4 — Calcular o tempo até ficarem opostos

Com a diferença de posição necessária e a velocidade relativa, o tempo é a razão entre eles: quanto tempo a velocidade relativa leva para acumular meia volta.

Por que esta fórmula: A velocidade relativa é a taxa de variação da diferença de posição, então tempo = diferença ÷ velocidade.

t=Δθvrelt = \frac{\Delta \theta}{v_{rel}}

De onde vem cada valor: Δθ\Delta \theta = passo 3: 0,5 volta · vrelv_{rel} = passo 2: 2 voltas/min

t=0,52=0,25 mint = \frac{0{,}5}{2} = \boxed{0{,}25\ \text{min}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar a velocidade do pequeno (3) ou do grande (1) em vez da relativa — daria 10 s ou 30 s, fora das alternativas.

Passo 5 — Converter minutos em segundos

As alternativas estão em segundos, então precisamos transformar o tempo de minutos para segundos. Como 1 minuto tem 60 segundos, multiplicamos por 60.

Por que esta fórmula: 1 min = 60 s, então para converter de minutos para segundos multiplica-se por 60.

ts=tmin×60t_{s} = t_{min} \times 60

De onde vem cada valor: tmint_{min} = passo 4: 0,25 min

ts=0,25×60=15 st_{s} = 0{,}25 \times 60 = \boxed{15\ \text{s}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer a conversão e marcar 0,25 como se fosse 25 s, ou multiplicar por 100.

Resposta: 15 segundos — alternativa D

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