Matemática · VUNESP · 2024 | Questão sqc-vu206511

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 186 comissões diferentes — alternativa E.

A ideia por trás

A análise combinatória conta de quantas maneiras podemos escolher ou organizar elementos. Quando a ordem dos escolhidos não importa, usamos a combinação: escolher 3 pessoas entre 6 para um grupo é combinação, pois {Ana, Bruno, Carla} é o mesmo grupo que {Carla, Bruno, Ana}. A fórmula é C(n,p) = n! / [p!(n-p)!], que conta quantos subconjuntos de p elementos existem em um conjunto de n.

Quando um dos escolhidos tem um papel especial, como líder, a contagem muda: para cada grupo de k pessoas, há k maneiras de escolher quem lidera. Então o total para um tamanho k é C(6,k) × k. Essa multiplicação é o princípio multiplicativo: escolhas independentes se combinam multiplicando. Como o problema pede comissões de tamanhos variados (de 2 a 6), somamos os resultados de cada tamanho.

Esta questão cobra exatamente essa combinação de combinação com papel especial: para cada tamanho de comissão, escolhemos os membros e depois o líder, e somamos tudo. O erro clássico é esquecer de multiplicar pela escolha do líder.

O que a questão dá

total de pessoas aptas = 6
tamanho mínimo da comissão = 2
tamanho máximo da comissão = 6
um membro deve ser líder

O que queremos: o número total de comissões diferentes, considerando que a escolha do líder diferencia as comissões

Passo 1 — Calcular as combinações para cada tamanho

Precisamos saber quantos grupos de cada tamanho (2, 3, 4, 5, 6) podem ser formados a partir das 6 pessoas. A ordem dentro do grupo não importa, então usamos combinação.

Por que esta fórmula: A combinação C(6,k) conta quantos subconjuntos de k pessoas existem entre 6, sem considerar a ordem. É a ferramenta certa para escolher os membros da comissão.

C(6,k) = \frac{6!}{k!(6-k)!}

De onde vem cada valor: $6$ = enunciado: seis pessoas aptas · $k$ = definição: tamanho da comissão, que varia de 2 a 6

C(6{,}2) = 15, C(6{,}3) = 20, C(6{,}4) = 15, C(6{,}5) = 6, C(6{,}6) = 1 = \boxed{15\ , 20, 15, 6, 1}

NÃO CAIA NESSA!

Confundir combinação com arranjo, contando a ordem dos membros como relevante — isso inflaria os números.

Passo 2 — Multiplicar cada combinação pelo número de líderes

Cada grupo de k pessoas pode ter qualquer um dos k membros como líder, então para cada combinação há k variações. Isso diferencia comissões com os mesmos membros.

Por que esta fórmula: O princípio multiplicativo: para cada grupo (C(6,k) opções), há k escolhas de líder, então o total é C(6,k) × k.

total_k = C(6,k) \times k

De onde vem cada valor: $C(6,k)$ = passo 1 · $k$ = definição: tamanho da comissão, que varia de 2 a 6

2 \times 15=30, 3 \times 20=60, 4 \times 15=60, 5 \times 6=30, 6 \times 1=6 = \boxed{30\ , 60, 60, 30, 6}

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar pelo líder, obtendo apenas as combinações (57), que não está nas alternativas.

Passo 3 — Somar os totais de cada tamanho

Como a comissão pode ter de 2 a 6 pessoas, todos esses casos são possibilidades distintas e devem ser somados.

Por que esta fórmula: O princípio aditivo: quando temos casos mutuamente exclusivos, somamos as contagens.

total = 30 + 60 + 60 + 30 + 6

De onde vem cada valor: $30$ = passo 2: comissões de 2 pessoas · $60$ = passo 2: comissões de 3 e 4 pessoas · $6$ = passo 2: comissões de 6 pessoas

30 + 60 + 60 + 30 + 6 = 186 = \boxed{186}

NÃO CAIA NESSA!

Somar apenas as combinações (15+20+15+6+1=57) ou errar uma das multiplicações.

Resposta: 186 comissões diferentes — alternativa E

Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — VUNESP 2024

Resolução

A ideia por trás

O que a questão dá

Passo 1 — Calcular as combinações para cada tamanho

Passo 2 — Multiplicar cada combinação pelo número de líderes

Passo 3 — Somar os totais de cada tamanho