Questão de Matemática — Unidades de Medida (Distância, Massa, Volume, Tempo, etc) — VUNESP 2024

Torneiras gotejantes e capacidade do recipiente

Gabarito: letra B — o recipiente de 1 litro (1.000 cm³) enche às 10h09min03s, pois as três torneiras juntas despejam 1 gota (2 cm³) a cada 2 segundos, e o tanque fica cheio exatamente quando a 501ª gota cai, no instante t = 543 s = 9 min 3 s. A resolução combina conversão de unidades (litro → cm³), MMC dos intervalos de gotejamento e contagem discreta de gotas.

O problema mistura duas ideias que precisam ser separadas com cuidado: a vazão média de cada torneira (quantas gotas ela libera por segundo) e o instante exato em que cada gota cai. Como as torneiras gotejam em intervalos diferentes (2 s, 3 s e 12 s), o volume despejado não cresce de forma contínua — ele cresce em "saltos" a cada segundo, quando uma ou mais torneiras liberam gotas simultaneamente. A pergunta pede o primeiro horário em que o tanque estará cheio, sem transbordar, ou seja, o instante exato em que o volume acumulado atinge ou ultrapassa 1.000 cm³ pela primeira vez.

Vamos por partes. Primeiro, a capacidade: 1 litro = 1.000 cm³ (pois 1 mL = 1 cm³ e 1 L = 1.000 mL). Cada gota tem 2 cm³, então são necessárias 1.000 ÷ 2 = 500 gotas para encher o recipiente. Agora, a dinâmica das gotas: no instante t = 0 (10:00:00), as três torneiras liberam uma gota cada — ou seja, 3 gotas (6 cm³) já caem no primeiro instante. A partir daí, a torneira A goteja a cada 2 s, a B a cada 3 s e a C a cada 12 s. O padrão de gotas por segundo se repete a cada MMC(2, 3, 12) = 12 segundos. Vamos montar a tabela do volume acumulado nos primeiros 12 segundos (já contando as 3 gotas iniciais em t = 0):

A cada 12 segundos, o volume acumulado aumenta 28 − 6 = 22 cm³ (descontando as 3 gotas iniciais). Mas atenção: o ciclo de 12 s começa em t = 0 com 3 gotas, e o próximo ciclo começa em t = 12 com mais 3 gotas, e assim por diante. Precisamos descobrir em que instante o acumulado atinge 1.000 cm³. Uma forma eficiente é calcular quantos ciclos completos de 12 s são necessários para chegar perto de 1.000 cm³ e depois verificar o que acontece dentro do ciclo seguinte.

Após n ciclos completos (ou seja, no instante t = 12n, já contando as gotas de todos os ciclos até ali), o volume acumulado é: V(12n) = 6 + 22n (pois cada ciclo de 12 s adiciona 22 cm³ além dos 6 cm³ iniciais do primeiro instante). Queremos V(12n) ≥ 1.000 → 6 + 22n ≥ 1.000 → 22n ≥ 994 → n ≥ 45,18. Então, após 45 ciclos completos (t = 540 s), o volume é V(540) = 6 + 22×45 = 6 + 990 = 996 cm³. Faltam apenas 4 cm³ (2 gotas) para encher. O próximo ciclo começa em t = 540 s (que é múltiplo de 12, então as três torneiras gotejam juntas): nesse instante caem 3 gotas (6 cm³), o que levaria o volume a 1.002 cm³ — transbordando! Mas o enunciado pede "sem transbordar", então precisamos do instante exato em que o volume atinge 1.000 cm³, que ocorre antes de t = 540 s, dentro do 46º ciclo.

Vamos analisar o 46º ciclo, que começa em t = 528 s (pois 528 = 12×44, e o ciclo vai de 528 a 540). No instante t = 528 s, o volume acumulado é V(528) = 6 + 22×44 = 6 + 968 = 974 cm³. Agora, dentro desse ciclo, os instantes de gotejamento são: t = 528 (A, B, C — 3 gotas), t = 530 (A), t = 531 (B), t = 532 (A), t = 534 (A, B), t = 536 (A), t = 537 (B), t = 538 (A), t = 540 (A, B, C). Vamos acumular:

• t = 528: 974 + 6 = 980 cm³

• t = 530: 980 + 2 = 982 cm³

• t = 531: 982 + 2 = 984 cm³

• t = 532: 984 + 2 = 986 cm³

• t = 534: 986 + 4 = 990 cm³

• t = 536: 990 + 2 = 992 cm³

• t = 537: 992 + 2 = 994 cm³

• t = 538: 994 + 2 = 996 cm³

• t = 540: 996 + 6 = 1.002 cm³ (transborda!)

Opa, mas isso mostra que no 46º ciclo o volume chega a 996 cm³ em t = 538 s e só atingiria 1.000 cm³ em t = 540 s, quando transborda. Isso significa que nossa conta de ciclos está errada? Vamos verificar: se em t = 540 s o volume é 1.002 cm³, então em algum instante entre 538 s e 540 s o volume passou de 996 para 1.002 cm³, e o valor 1.000 cm³ foi ultrapassado sem ser exatamente atingido. Mas o enunciado pede o primeiro horário em que o tanque estará cheio sem transbordar — ou seja, o instante em que o volume atinge exatamente 1.000 cm³. Se o volume pula de 996 para 1.002, ele nunca fica exatamente em 1.000 cm³, e o tanque transbordaria. Isso sugere que nossa modelagem está incorreta.

O erro está em considerar que as gotas caem "instantaneamente" nos instantes múltiplos dos intervalos. Na verdade, o problema diz que cada torneira libera uma gota a cada 2, 3 e 12 segundos, e que no instante t = 0 todas liberam uma gota. Isso significa que a torneira A libera gotas nos instantes 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...; a B em 0, 3, 6, 9, 12, ...; e a C em 0, 12, 24, ... . A cada segundo, pode cair mais de uma gota (quando os instantes coincidem). O volume acumulado é uma função escada que só aumenta nos instantes de gotejamento. Para saber quando atinge 1.000 cm³, precisamos encontrar o menor t tal que o volume acumulado seja ≥ 1.000 cm³, e verificar se nesse instante o volume é exatamente 1.000 ou se pula de um valor menor para um maior.

Vamos refazer a conta com mais cuidado. O volume acumulado após t segundos é a soma dos volumes de todas as gotas que caíram até o instante t. Como cada gota tem 2 cm³, o volume é 2 × (número total de gotas até t). Precisamos de 500 gotas. Vamos contar quantas gotas caem por segundo, em média, e depois achar o instante exato.

A torneira A goteja a cada 2 s → 0,5 gota/s. A B a cada 3 s → 1/3 gota/s. A C a cada 12 s → 1/12 gota/s. Juntas, a taxa média é 0,5 + 1/3 + 1/12 = 6/12 + 4/12 + 1/12 = 11/12 gota/s. Para 500 gotas, o tempo médio seria 500 ÷ (11/12) = 500 × 12/11 ≈ 545,45 s. Mas isso é uma média; o instante real é quando a 500ª gota cai. Vamos contar as gotas acumuladas até cada instante.

Uma maneira é usar o MMC = 12 s. Em cada ciclo de 12 s, o número de gotas é: torneira A goteja 7 vezes (0, 2, 4, 6, 8, 10, 12), a B goteja 5 vezes (0, 3, 6, 9, 12), e a C goteja 2 vezes (0, 12). Mas cuidado: nos instantes 0 e 12, as três gotejam juntas, então o total de gotas no ciclo (de 0 a 12, incluindo ambos) é 7 + 5 + 2 − 2 (para não contar 0 e 12 duas vezes) = 12 gotas? Vamos listar: instantes 0, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12. Em 0: 3 gotas; 2: 1; 3: 1; 4: 1; 6: 2; 8: 1; 9: 1; 10: 1; 12: 3. Total = 3+1+1+1+2+1+1+1+3 = 14 gotas. Mas o ciclo de 12 s, se considerarmos de 0 a 12 inclusive, tem 14 gotas. Se considerarmos de 12 a 24, também 14 gotas, mas o instante 12 já foi contado. Então, a partir de t = 0, a cada 12 s caem 14 gotas, mas o instante final do ciclo (12, 24, ...) é compartilhado com o próximo. Para evitar dupla contagem, vamos contar as gotas no intervalo (0, 12] (excluindo 0, incluindo 12): são 14 − 3 (as de t=0) = 11 gotas. Mas isso não é uniforme, porque o instante 12 tem 3 gotas.

Vamos fazer diferente: contar o número total de gotas até o instante t. Para t = 12n (múltiplo de 12), o número de gotas é: torneira A: 6n + 1 (instantes 0, 2, ..., 12n); B: 4n + 1; C: n + 1. Total = 6n+1 + 4n+1 + n+1 = 11n + 3. Para n = 45 (t = 540 s), total = 11×45 + 3 = 495 + 3 = 498 gotas. Volume = 498 × 2 = 996 cm³. Para n = 46 (t = 552 s), total = 11×46 + 3 = 506 + 3 = 509 gotas, volume = 1.018 cm³. Então a 500ª gota cai entre t = 540 s e t = 552 s. Precisamos achar o instante exato.

No intervalo (540, 552], as gotas caem nos instantes: 540 (A, B, C — 3 gotas), 542 (A), 543 (B), 544 (A), 546 (A, B), 548 (A), 549 (B), 550 (A), 552 (A, B, C). Em t = 540, o total é 498 + 3 = 501 gotas! Isso significa que a 500ª gota cai em t = 540 s, e o volume fica 1.002 cm³, transbordando. Mas o enunciado pede "sem transbordar", então o tanque não pode ficar cheio em t = 540 s, pois transbordaria. Isso indica que o tanque enche antes de t = 540 s, quando o volume atinge exatamente 1.000 cm³. Vamos verificar o instante em que o volume atinge 1.000 cm³.

Precisamos de 500 gotas. Vamos contar as gotas até cada instante antes de 540 s. Em t = 538 s, quantas gotas caíram? Vamos calcular. O instante 538 não é múltiplo de 12, então vamos contar por ciclo. Até t = 528 s (44 ciclos completos de 12 s, de 0 a 528 inclusive), o número de gotas é 11×44 + 3 = 484 + 3 = 487 gotas. Agora, de 528 a 538, as gotas caem em: 528 (3), 530 (1), 531 (1), 532 (1), 534 (2), 536 (1), 537 (1), 538 (1). Total de gotas de 528 a 538 = 3+1+1+1+2+1+1+1 = 11 gotas. Então até t = 538, total = 487 + 11 = 498 gotas. Volume = 996 cm³. Em t = 540, caem 3 gotas, total = 501, volume = 1.002 cm³. Então o volume pula de 996 para 1.002, nunca ficando em 1.000. Isso significa que, se o tanque tem capacidade exata de 1.000 cm³, ele nunca fica exatamente cheio sem transbordar? Isso não pode ser, pois o gabarito é 9 min 3 s = 543 s. Vamos verificar o que acontece em t = 543 s.

Em t = 543 s, a torneira B goteja (pois 543 é múltiplo de 3). Mas antes, em t = 542, a torneira A goteja. Vamos contar as gotas até t = 543. Até t = 540, temos 501 gotas (como calculado). Em t = 542, cai 1 gota (A), total 502. Em t = 543, cai 1 gota (B), total 503. Volume = 1.006 cm³. Isso já passou de 1.000. Então o tanque teria transbordado em t = 540. Mas o gabarito diz 543 s. Há uma inconsistência. Vamos reconsiderar a interpretação do problema.

Talvez a interpretação correta seja que as torneiras gotejam a cada 2, 3 e 12 segundos, mas a primeira gota de cada uma cai no instante em que são abertas (t = 0), e depois a cada intervalo. Isso é o que fizemos. Mas talvez o problema queira dizer que as torneiras gotejam a cada 2, 3 e 12 segundos, e a primeira gota cai após esse intervalo, ou seja, a primeira gota da torneira A cai em t = 2 s, a da B em t = 3 s, e a da C em t = 12 s. Mas o enunciado diz "cada uma liberando uma gota nesse horário" (às 10:00), então a primeira gota cai em t = 0. Então nossa contagem está correta.

Vamos verificar o gabarito: 9 min 3 s = 543 s. Se em t = 543 s o volume é 1.006 cm³, o tanque já teria transbordado. Mas talvez o problema considere que o tanque enche quando o volume atinge 1.000 cm³, e como em t = 540 o volume pula de 996 para 1.002, o tanque transborda, mas o primeiro instante em que o volume é maior ou igual a 1.000 é t = 540 s, e não 543. Então por que o gabarito é 543? Vamos refazer a contagem de gotas com mais cuidado.

Vamos listar todos os instantes de gotejamento de 0 a 543 e contar as gotas:

• t=0: A, B, C → 3 gotas (total 3)

• t=2: A → 1 (4)

• t=3: B → 1 (5)

• t=4: A → 1 (6)

• t=6: A, B → 2 (8)

• t=8: A → 1 (9)

• t=9: B → 1 (10)

• t=10: A → 1 (11)

• t=12: A, B, C → 3 (14)

• t=14: A → 1 (15)

• t=15: B → 1 (16)

• t=16: A → 1 (17)

• t=18: A, B → 2 (19)

• t=20: A → 1 (20)

• t=21: B → 1 (21)

• t=22: A → 1 (22)

• t=24: A, B, C → 3 (25)

• ...

Perceba que a cada 12 s, o total de gotas aumenta 11 (de 3 para 14, de 14 para 25, etc.). Então, após n ciclos completos de 12 s (incluindo t=0), o total de gotas é 3 + 11n. Para n = 45 (t = 540), total = 3 + 11×45 = 3 + 495 = 498 gotas. Isso confere com o cálculo anterior. Mas espera: em t = 540, as três torneiras gotejam, então devemos contar as gotas em t = 540. Até t = 540 inclusive, o total é 498 + 3 = 501 gotas. Então a 500ª gota cai em t = 540, e o volume é 1.002 cm³. Mas o gabarito é 543. Vamos ver se há algum erro na contagem de gotas da torneira A.

A torneira A goteja a cada 2 s, começando em t = 0. Então os instantes são 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... Até t = 540, quantas vezes ela gotejou? 540/2 = 270, mas incluindo t = 0, são 271 vezes (0, 2, ..., 540). A torneira B goteja a cada 3 s: 540/3 = 180, incluindo t = 0, são 181 vezes. A torneira C: 540/12 = 45, incluindo t = 0, são 46 vezes. Total = 271 + 181 + 46 = 498 gotas. Mas isso conta as gotas até t = 540, incluindo as de t = 540. Então em t = 540, o total é 498 gotas, não 501. O erro anterior foi contar 3 gotas em t = 540 separadamente, mas elas já estão incluídas nas contagens individuais. Vamos corrigir: até t = 540 inclusive, o total de gotas é 498. Volume = 996 cm³. Então a 500ª gota ainda não caiu. Vamos continuar:

• t = 542: A goteja (542/2 = 271, mas 542 não é múltiplo de 3 nem de 12, então só A). Total = 499 gotas.

• t = 543: B goteja (543/3 = 181, mas 543 não é múltiplo de 2 nem de 12). Total = 500 gotas.

Então a 500ª gota cai em t = 543 s, e o volume é 1.000 cm³ exatamente. O tanque fica cheio sem transbordar. Esse é o gabarito. O erro na contagem anterior foi contar as gotas de t = 540 três vezes (uma para cada torneira) em vez de uma vez só. Vamos refazer a tabela de volume acumulado corretamente:

A cada 12 s, o volume aumenta 22 cm³ (de 6 para 28, de 28 para 50, etc.). Após n ciclos completos (t = 12n), o volume é 6 + 22n. Para n = 45 (t = 540), volume = 6 + 22×45 = 6 + 990 = 996 cm³. Faltam 4 cm³ (2 gotas). As próximas gotas: t = 542 (A, 1 gota) → 998 cm³; t = 543 (B, 1 gota) → 1.000 cm³. Então o tanque enche em t = 543 s = 9 min 3 s.

A pegadinha está em contar as gotas de cada torneira separadamente e somar, esquecendo que nos instantes em que várias torneiras gotejam juntas, o volume é a soma, mas a contagem de gotas deve ser feita por instante, não por torneira. Outra pegadinha é converter 543 s para minutos: 543 ÷ 60 = 9 min e 3 s.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma 8 min 20 s = 500 s. Nesse instante, o volume acumulado é: até t = 492 s (41 ciclos de 12 s), volume = 6 + 22×41 = 6 + 902 = 908 cm³. Depois, as gotas em 492 (3 gotas, 6 cm³ → 914), 494 (A, 2 → 916), 495 (B, 2 → 918), 496 (A, 2 → 920), 498 (A+B, 4 → 924), 500 (A, 2 → 926). Em t = 500 s, volume = 926 cm³, muito abaixo de 1.000. O valor 500 s corresponderia a 8 min 20 s, mas o tanque ainda está longe de encher.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, a 500ª gota cai em t = 543 s = 9 min 3 s, enchendo o recipiente com exatamente 1.000 cm³, sem transbordar. A conta: 1 L = 1.000 cm³, cada gota = 2 cm³, logo 500 gotas. Até t = 540 s, caíram 498 gotas (996 cm³); em t = 542 s cai a 499ª (998 cm³); em t = 543 s cai a 500ª (1.000 cm³).

Alternativa C — ❌ Incorreta

10 min 2 s = 602 s. Nesse instante, o volume já é bem maior que 1.000 cm³. Em t = 552 s (46 ciclos), volume = 6 + 22×46 = 1.018 cm³, e o tanque já teria transbordado muito antes. O valor 602 s não tem relação com o momento do enchimento.

Alternativa D — ❌ Incorreta

10 min 12 s = 612 s. Idem: o tanque já transbordou. Em t = 612 s, o volume acumulado é 6 + 22×51 = 6 + 1.122 = 1.128 cm³ (considerando 51 ciclos completos de 12 s até 612).

Alternativa E — ❌ Incorreta

10 min 20 s = 620 s. Também já transbordou. Em t = 620 s, volume = 6 + 22×51 + gotas extras de 612 a 620. Em 612 (3 gotas), 614 (A), 615 (B), 616 (A), 618 (A+B), 620 (A). Até 612, volume = 1.128; somando: 612 (+6 → 1.134), 614 (+2 → 1.136), 615 (+2 → 1.138), 616 (+2 → 1.140), 618 (+4 → 1.144), 620 (+2 → 1.146). Muito além de 1.000.

Gabarito: letra B