Questão de Matemática — Relações Métricas no Triângulo Retângulo (Inclui Teorema de Pitágoras) — VUNESP 2024
Matemática›Relações Métricas no Triângulo Retângulo (Inclui Teorema de Pitágoras)
Código
vu206515
Banca
VUNESP
Órgão
Pref GRU
Ano
2024
Cargo
Ag TT ( )
A figura a seguir indica duas ruas e uma avenida, todas R a s c u n h o de mão dupla e em suas totais extensões, na planta de uma cidade. Sabendo-se que a extensão da Av. Guimarães Rosa supera a da Rua Machado de Assis em 400 metros, e que a Rua Clarice Lispector tem extensão de 1 200 metros, pode-se afirmar com correção que a extensão da Av. Guimarães Rosa é de
A3 km.
B2,5 km.
C2,4 km.
D2,1 km.
E2 km.
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GabaritoE — 2 km.
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Resolução
Gabarito: letra E — a conta chega a 2 km — alternativa E.
A ideia por trás
O Teorema de Pitágoras é a relação que vale em todo triângulo retângulo, isto é, todo triângulo que tem um ângulo de 90°. Ele diz que o quadrado do lado maior, chamado hipotenusa, é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, chamados catetos. Esse teorema é a ferramenta básica para descobrir uma distância desconhecida quando se conhece as outras duas e o ângulo reto.
A relação é a² = b² + c², onde a é a hipotenusa e b, c são os catetos. Ela tem essa forma porque a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é exatamente a soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos. Se um cateto cresce, a hipotenusa cresce, mas não na mesma proporção: dobrar um cateto não dobra a hipotenusa, pois o quadrado entra na conta. Essa relação só vale para triângulos retângulos.
Esta questão apresenta um triângulo retângulo formado pelas ruas e pela avenida, onde a avenida é a hipotenusa. O desafio é montar a equação do teorema com a informação de que a avenida é 400 m maior que uma das ruas, e então resolver para encontrar o comprimento da avenida.
O que a questão dá
extensão da Rua Clarice Lispector = 1200 m (cateto)
extensão da Av. Guimarães Rosa = extensão da Rua Machado de Assis + 400 m
as ruas e a avenida formam um triângulo retângulo, com a avenida como hipotenusa
O que queremos: a extensão da Av. Guimarães Rosa
Passo 1 — Definir as variáveis
Para montar a equação, precisamos dar nomes às medidas desconhecidas. Chamamos a extensão da Rua Machado de Assis de x. Como a avenida é 400 m maior, ela será x + 400. A Rua Clarice Lispector é 1200 m.
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de somar 400 na avenida, usando x para a avenida também.
Passo 2 — Aplicar o Teorema de Pitágoras
Com os lados identificados, podemos usar a relação fundamental do triângulo retângulo: o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos. Aqui, a hipotenusa é a avenida (x + 400), e os catetos são as ruas (x e 1200).
Por que esta fórmula: O Teorema de Pitágoras é a única relação que liga os três lados de um triângulo retângulo. Como temos dois catetos e a hipotenusa em função de x, essa é a fórmula que resolve o problema.
De onde vem cada valor: = passo 1: extensão da avenida · = passo 1: extensão da Rua Machado de Assis · = enunciado: extensão da Rua Clarice Lispector
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de elevar ao quadrado o 400 dentro do parêntese, ou seja, escrever x² + 400² em vez de (x+400)².
Passo 3 — Expandir e simplificar a equação
Para encontrar x, precisamos resolver a equação. Expandimos o quadrado da soma e cancelamos os termos x² que aparecem dos dois lados, isolando x.
Por que esta fórmula: A expansão (x+400)² = x² + 800x + 160000 é uma identidade algébrica. Depois, subtraímos x² dos dois lados para simplificar.
De onde vem cada valor: = definição: expansão de (x+400)^2 · = definição: 1200^2 = 1440000
NÃO CAIA NESSA!
Errar a expansão do quadrado da soma, por exemplo, escrever x² + 400².
Passo 4 — Isolar x e calcular
Com a equação simplificada, agora é só resolver para x. Subtraímos x² dos dois lados, depois subtraímos 160000 e dividimos por 800.
Por que esta fórmula: Manipulação algébrica básica: para isolar x, fazemos operações inversas dos dois lados da equação.
De onde vem cada valor: = passo 3: coeficiente de x · = passo 3: termo independente do lado direito · = passo 3: termo independente do lado esquerdo
NÃO CAIA NESSA!
Errar a subtração 1440000 - 160000, ou dividir errado.
Passo 5 — Calcular a extensão da avenida
Já temos o valor de x, que é a Rua Machado de Assis. A avenida é 400 m maior, então somamos 400 a x.
Por que esta fórmula: A relação dada no enunciado: avenida = rua + 400.
De onde vem cada valor: = passo 4: 1600 m · = enunciado: diferença entre a avenida e a rua
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de somar 400 e responder 1600 m.
Passo 6 — Converter metros para quilômetros
As alternativas estão em quilômetros, então precisamos converter o resultado de metros para quilômetros. Como 1 km = 1000 m, dividimos o valor em metros por 1000.
Por que esta fórmula: A conversão é direta: 1 km = 1000 m, então para transformar metros em quilômetros, dividimos por 1000.
De onde vem cada valor: = passo 5: 2000 m
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de converter e marcar 2000, que não está nas alternativas, ou converter errado multiplicando por 1000.
