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Questão de Matemática — Divisibilidade, Números Primos, Fatores Primos, Divisor e Múltiplo Comum (MMC) — VUNESP 2024

MatemáticaDivisibilidade, Números Primos, Fatores Primos, Divisor e Múltiplo Comum (MMC)
Código
vu206535
Banca
VUNESP
Órgão
Pref Catanduva
Ano
2024
Cargo
AgFiscTrib ( )
Em um grupo com total de 57 pessoas, 21 são crianças, e os demais, adultos. Deseja-se dividir essas 57 pessoas em grupos, cada um contendo certa quantidade x de crianças e certa quantidade y de adultos, de modo que cada uma das 57 pessoas participe de um grupo, e que x e y sejam os menores números possíveis. Nessas condições, y – x deve ser igual a
  1. A5.
  2. B4.
  3. C3.
  4. D2.
  5. E1.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 5.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a y - x = 5, alternativa A.

A ideia por trás

O máximo divisor comum (MDC) entre dois números é o maior número que divide ambos exatamente, sem deixar resto. Ele responde à pergunta: qual é o maior tamanho de grupo que permite dividir duas quantidades diferentes em partes iguais, sem sobrar ninguém?

Quando queremos dividir duas quantidades em grupos com a mesma composição, o número de grupos deve ser um divisor comum das duas quantidades. Para que as quantidades por grupo sejam as menores possíveis, o número de grupos deve ser o maior possível — ou seja, o MDC. O MDC é calculado tomando os fatores primos comuns com os menores expoentes.

Esta questão pede para dividir 21 crianças e 36 adultos em grupos com a mesma composição, com o menor número de pessoas por grupo. Isso exige encontrar o MDC entre 21 e 36, depois dividir cada quantidade por esse MDC para obter x e y, e finalmente calcular y - x.

O que a questão dá

  • total de pessoas = 57

  • crianças = 21

O que queremos: a diferença y - x, onde x é o número de crianças e y o número de adultos em cada grupo, com x e y os menores possíveis

Passo 1 — Calcular quantos adultos há

O enunciado dá o total de pessoas e o número de crianças; para dividir em grupos precisamos saber quantos adultos existem. Subtrair o total pelas crianças é o primeiro passo para obter os dois números que serão divididos.

Por que esta fórmula: É uma simples subtração: adultos = total - crianças.

adultos=total−criancasadultos = total - criancas

De onde vem cada valor: totaltotal = enunciado: 57 · criancascriancas = enunciado: 21

adultos=57−21=36 adultosadultos = 57 - 21 = \boxed{36\ \text{adultos}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair e usar 57 como número de adultos — isso daria grupos com proporção errada.

Passo 2 — Encontrar o MDC entre 21 e 36

Para dividir 21 crianças e 36 adultos em grupos com a mesma composição, o número de grupos deve dividir ambos os números. Queremos o maior número possível de grupos para que cada grupo tenha o menor número de pessoas — esse é exatamente o MDC.

Por que esta fórmula: O MDC é o maior divisor comum. Podemos calcular listando os divisores de cada número e escolhendo o maior comum, ou fatorando em primos e pegando os fatores comuns com menores expoentes.

MDC(21,36)=?MDC(21, 36) = ?

De onde vem cada valor: 2121 = passo 1: crianças · 3636 = passo 1: adultos

MDC(21,36)=3=3MDC(21, 36) = 3 = \boxed{3}
NÃO CAIA NESSA!

Usar o MMC (que seria 252) em vez do MDC — isso daria um número de grupos enorme e quantidades fracionárias.

Passo 3 — Dividir crianças pelo MDC para achar x

Com o número de grupos (MDC = 3) em mãos, dividimos a quantidade de crianças por esse número para saber quantas crianças vão em cada grupo. Isso garante que todos os grupos tenham a mesma composição.

Por que esta fórmula: x = crianças / MDC, pois cada grupo recebe uma parte igual das crianças.

x=criancasMDCx = \frac{criancas}{MDC}

De onde vem cada valor: criancascriancas = enunciado: 21 · MDCMDC = passo 2: 3

x=213=7 crianc\casporgrupox = \frac{21}{3} = \boxed{7\ \text{crian}ç\text{as} \text{por} \text{grupo}}
NÃO CAIA NESSA!

Parar no MDC e achar que x = 3 — o 3 é o número de grupos, não a quantidade por grupo.

Passo 4 — Dividir adultos pelo MDC para achar y

Da mesma forma que dividimos as crianças, dividimos os adultos pelo número de grupos para obter a quantidade de adultos por grupo.

Por que esta fórmula: y = adultos / MDC, pois cada grupo recebe uma parte igual dos adultos.

y=adultosMDCy = \frac{adultos}{MDC}

De onde vem cada valor: adultosadultos = passo 1: 36 · MDCMDC = passo 2: 3

y=363=12 adultosporgrupoy = \frac{36}{3} = \boxed{12\ \text{adultos} \text{por} \text{grupo}}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir a ordem: y é adultos, x é crianças — trocar dá diferença negativa.

Passo 5 — Calcular a diferença y - x

A questão pede exatamente a diferença entre a quantidade de adultos e de crianças por grupo. Com x e y calculados, basta subtrair.

Por que esta fórmula: É a definição do que se pede: y - x.

y−xy - x

De onde vem cada valor: yy = passo 4: 12 · xx = passo 3: 7

12−7=512 - 7 = \boxed{5}
NÃO CAIA NESSA!

Marcar o MDC (3) como resposta, esquecendo de fazer a subtração final.

Resposta: y - x = 5, alternativa A

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