Questão de Matemática — Equações de Primeiro Grau — VUNESP 2024

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 88 pessoas — alternativa D.

A ideia por trás

Uma razão é uma comparação entre duas quantidades por meio de uma divisão. Aqui, a razão entre desempregados e empregados é 0,375, o que significa que, para cada pessoa empregada, há 0,375 desempregado — ou, em números inteiros, para cada 3 desempregados há 8 empregados. Essa fração é a chave para repartir o total.

Se a razão é D/E = 3/8, podemos escrever D = 3k e E = 8k, onde k é um fator comum que ajusta as partes ao total. A soma D + E = 11k deve igualar o total de 121 pessoas. Assim, k = 121/11 = 11, e o número de empregados é 8 × 11 = 88. Essa relação vale porque a razão entre as partes é mantida quando multiplicamos ambas por um mesmo número.

Esta questão pede para transformar a razão decimal em fração e usar a proporção para dividir o total. O passo crítico é não inverter a ordem da razão.

O que a questão dá

• razão entre desempregados e empregados = 0,375

• total de pessoas = 121

O que queremos: o número de pessoas que se declararam empregadas

Passo 1 — Transformar o decimal em fração

A razão foi dada como 0,375, um número decimal. Para trabalhar com proporções inteiras, é mais fácil escrevê-la como fração. 0,375 = 375/1000, que simplificada por 125 dá 3/8.

Por que esta fórmula: A razão D/E = 0,375 é uma divisão; transformar o decimal em fração é apenas reescrever o mesmo número de outra forma.

De onde vem cada valor: $D$ = enunciado: desempregados · $E$ = enunciado: empregados · $3/8$ = definição: 0,375 = 375/1000 = 3/8

Passo 2 — Representar as partes com uma constante

Com a razão em fração, sabemos que para cada 3 desempregados há 8 empregados. Para usar o total, precisamos de uma constante k que multiplique ambas as partes sem alterar a razão.

Por que esta fórmula: Se D/E = 3/8, então D = 3k e E = 8k, pois a razão entre 3k e 8k é sempre 3/8.

De onde vem cada valor: $3$ = passo 1: numerador da fração · $8$ = passo 1: denominador da fração · $k$ = constante: fator de proporcionalidade

Passo 3 — Montar a equação do total

O total de pessoas é a soma dos desempregados e empregados. Com as expressões em função de k, podemos igualar a soma a 121 e descobrir o valor de k.

Por que esta fórmula: A soma das partes deve ser o total: D + E = 121. Substituindo D e E por 3k e 8k, obtemos 11k = 121.

De onde vem cada valor: $3k$ = passo 2: D = 3k · $8k$ = passo 2: E = 8k · $121$ = enunciado: total de pessoas

Passo 4 — Calcular o valor de k

Com a equação 11k = 121, isolamos k dividindo ambos os lados por 11. Esse k é o fator que transforma as partes proporcionais em números reais.

Por que esta fórmula: Para isolar k, dividimos os dois lados da equação pelo coeficiente de k, que é 11.

De onde vem cada valor: $121$ = passo 3: total · $11$ = passo 3: soma dos coeficientes

Passo 5 — Encontrar o número de empregados

Agora que sabemos k = 11, usamos a expressão E = 8k para calcular quantos são os empregados. Esse é o valor que a questão pede.

Por que esta fórmula: E = 8k vem da proporção inicial: para cada 8 empregados, há 3 desempregados, e k ajusta essa proporção ao total.

De onde vem cada valor: $8$ = passo 1: denominador da fração · $k$ = passo 4: 11

Resposta: 88 pessoas — alternativa D