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Questão de Matemática — Equações de Segundo Grau e Equações Biquadradas — VUNESP 2024

MatemáticaEquações de Segundo Grau e Equações Biquadradas
Código
vu206537
Banca
VUNESP
Órgão
Pref Catanduva
Ano
2024
Cargo
AgFiscTrib ( )
Ana e Bernardo nasceram no mesmo dia de junho. Sabendo-se que Ana é 12 anos mais nova que Bernardo, e que no dia do aniversário deles em 2024 o produto dos números que representavam suas idades, em anos, era 1 260, é correto afirmar que Bernardo nasceu em
  1. A1980.
  2. B1981.
  3. C1982.
  4. D1983.
  5. E1984.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 1982.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a Bernardo nasceu em 1982 — alternativa C.

A ideia por trás

Uma equação do segundo grau é uma igualdade em que a incógnita aparece elevada ao quadrado, como x². Ela aparece quando uma grandeza depende do produto de duas outras que se relacionam, como aqui: a idade de um é a idade do outro menos 12, e o produto delas é conhecido. Resolver essa equação significa achar os valores de x que tornam a igualdade verdadeira.

A forma geral é ax² + bx + c = 0, e a fórmula de Bhaskara x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a) entrega as duas raízes. O discriminante Δ = b² - 4ac diz quantas soluções reais existem: se for positivo, duas; se zero, uma; se negativo, nenhuma. Aqui, uma das raízes será negativa, o que não faz sentido para idade, então descartamos.

Esta questão pede para traduzir o enunciado em uma equação do segundo grau, resolvê-la e interpretar qual raiz é válida. O passo final é subtrair a idade de 2024 para achar o ano de nascimento.

O que a questão dá

  • Ana é 12 anos mais nova que Bernardo

  • produto das idades em 2024 = 1260

  • ano de referência = 2024

O que queremos: o ano de nascimento de Bernardo

Passo 1 — Montar a equação das idades

Precisamos transformar as palavras do problema em uma expressão matemática. Se Bernardo tem x anos, Ana, sendo 12 anos mais nova, tem x - 12. O produto dessas idades é 1260, então montamos x(x - 12) = 1260.

Por que esta fórmula: É a tradução direta do enunciado: 'produto das idades' significa multiplicar as duas expressões.

x(x−12)=1260x(x - 12) = 1260

De onde vem cada valor: xx = definição: idade de Bernardo · x−12x - 12 = definição: idade de Ana, 12 anos mais nova · 12601260 = enunciado: produto das idades

x⋅(x−12)=1260x \cdot (x - 12) = 1260
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer os parênteses e escrever x - 12 = 1260, perdendo a multiplicação.

Passo 2 — Expandir e igualar a zero

Para usar a fórmula de Bhaskara, a equação precisa estar na forma ax² + bx + c = 0. Então distribuímos o x e movemos o 1260 para o outro lado.

Por que esta fórmula: É a forma padrão que permite identificar os coeficientes a, b e c.

x2−12x−1260=0x^{2} - 12x - 1260 = 0

De onde vem cada valor: x2x^{2} = passo 1: x · x · −12x-12x = passo 1: x · (-12) · −1260-1260 = passo 1: 1260 subtraído dos dois lados

x2−12x−1260=0x^{2} - 12x - 1260 = 0
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal de 1260 ao passar para o outro lado — deve ficar negativo.

Passo 3 — Aplicar a fórmula de Bhaskara

Com a equação na forma padrão, identificamos a = 1, b = -12 e c = -1260. A fórmula de Bhaskara resolve qualquer equação do segundo grau, então é o caminho direto.

Por que esta fórmula: É a fórmula geral para equações do segundo grau; substituímos os coeficientes e calculamos.

x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}

De onde vem cada valor: aa = passo 2: coeficiente de x² = 1 · bb = passo 2: coeficiente de x = -12 · cc = passo 2: termo constante = -1260

x=−(−12)±(−12)2−4⋅1⋅(−1260)2⋅1x = \frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-1260)}}{2 \cdot 1}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal de b: -(-12) vira +12, e o discriminante soma 144 + 5040.

Passo 4 — Calcular as duas raízes

O discriminante deu 5184, cuja raiz é 72. Agora calculamos as duas possibilidades: uma com mais, outra com menos.

Por que esta fórmula: O ± da fórmula gera duas soluções; precisamos de ambas para depois escolher a válida.

x1=12+722,x2=12−722x_1 = \frac{12 + 72}{2}, \quad x_2 = \frac{12 - 72}{2}

De onde vem cada valor: 1212 = passo 3: -b = 12 · 7272 = passo 3: √5184 · 22 = passo 3: 2a = 2

x1=842=42,x2=−602=−30x_1 = \frac{84}{2} = 42, \quad x_2 = \frac{-60}{2} = -30

x₁ = 42 e x₂ = -30

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer a raiz negativa e achar que só existe uma solução.

Passo 5 — Escolher a idade válida

Idade não pode ser negativa, então descartamos -30. Bernardo tem 42 anos.

Por que esta fórmula: Interpretação do contexto: a raiz negativa não faz sentido físico.

idadedeBernardo=42 anosidade de Bernardo = \boxed{42\ \text{anos}}
NÃO CAIA NESSA!

Aceitar a raiz negativa sem pensar — ela não representa uma idade.

Passo 6 — Subtrair a idade do ano de referência

O ano de nascimento é o ano atual menos a idade. Como estamos em 2024 e Bernardo tem 42 anos, subtraímos.

Por que esta fórmula: Ano de nascimento = ano atual - idade, pois a idade é o tempo decorrido desde o nascimento.

ano de nascimento=2024−42ano\ de\ nascimento = 2024 - 42

De onde vem cada valor: 20242024 = enunciado: ano de referência · 4242 = passo 5: idade de Bernardo

2024−42=1982=19822024 - 42 = 1982 = \boxed{1982}
NÃO CAIA NESSA!

Somar em vez de subtrair, ou esquecer esse passo e marcar 42.

Resposta: Bernardo nasceu em 1982 — alternativa C

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