Questão de Matemática — Equações de Primeiro Grau — VUNESP 2024

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a R$ 17.500,00 — alternativa E.

A ideia por trás

Um sistema de equações do 1º grau é um conjunto de duas ou mais equações que precisam ser verdadeiras ao mesmo tempo. Aqui, cada equação representa uma venda: a quantidade de cada produto multiplicada pelo seu preço, somada, dá o total arrecadado. Os preços unitários são as incógnitas, que não mudam entre a manhã e a tarde.

A relação é a equação de venda: preço do produto A vezes quantidade de A mais preço do produto B vezes quantidade de B igual ao total. Como temos duas situações (manhã e tarde), montamos duas equações com as mesmas incógnitas. Resolver o sistema é encontrar os valores de A e B que satisfazem as duas equações simultaneamente. Depois, multiplicamos cada preço pela meta de 500 unidades e somamos para obter o total mensal.

Esta questão exige montar o sistema a partir dos dados de venda, resolvê-lo para achar os preços unitários e então calcular o total da meta mensal. O passo crítico é não confundir a meta de 500 unidades de cada produto com 500 unidades no total.

O que a questão dá

• manhã: 10 unidades de A e 12 de B = R$ 390,00

• tarde: 5 unidades de A e 10 de B = R$ 275,00

• meta mensal: 500 unidades de cada produto

O que queremos: o valor total das vendas mensais dos dois produtos

Passo 1 — Montar as equações do sistema

Precisamos traduzir as informações de venda em linguagem matemática. Cada período vira uma equação, com as mesmas incógnitas A e B representando os preços unitários.

Por que esta fórmula: A equação de venda é: quantidade de A vezes preço de A mais quantidade de B vezes preço de B igual ao total arrecadado. Como os preços são constantes, podemos escrever uma equação para a manhã e outra para a tarde.

De onde vem cada valor: $10A$ = enunciado: 10 unidades de A na manhã · $12B$ = enunciado: 12 unidades de B na manhã · $390$ = enunciado: total da manhã · $5A$ = enunciado: 5 unidades de A na tarde · $10B$ = enunciado: 10 unidades de B na tarde · $275$ = enunciado: total da tarde

Passo 2 — Isolar uma incógnita na segunda equação

Para resolver o sistema, usamos o método da substituição: isolamos uma incógnita em uma equação e a substituímos na outra. A segunda equação tem coeficientes menores, então é mais fácil isolar A.

Por que esta fórmula: Da equação 5A + 10B = 275, subtraímos 10B dos dois lados e dividimos por 5 para obter A em função de B.

De onde vem cada valor: $55$ = passo 1: 275 ÷ 5 · $2B$ = passo 1: 10B ÷ 5

Passo 3 — Substituir A na primeira equação

Agora que A está em função de B, substituímos essa expressão na primeira equação, que passa a ter apenas a incógnita B. Isso nos permite encontrar o valor de B.

Por que esta fórmula: Substituímos A por 55 - 2B na equação 10A + 12B = 390, depois distribuímos o 10 e simplificamos.

De onde vem cada valor: $55 - 2B$ = passo 2 · $10$ = passo 1: coeficiente de A na primeira equação · $12B$ = passo 1: termo de B na primeira equação · $390$ = passo 1: total da manhã

Passo 4 — Resolver a equação para B

Com a equação simplificada, isolamos B para descobrir o preço do produto B. Esse é o passo que resolve a incógnita.

Por que esta fórmula: Combinamos os termos com B e isolamos B: -20B + 12B = -8B, depois passamos 550 para o outro lado e dividimos por -8.

De onde vem cada valor: $-8B$ = passo 3: -20B + 12B · $-160$ = passo 3: 390 - 550

Passo 5 — Encontrar o preço de A

Com B conhecido, voltamos à expressão de A em função de B para achar o preço do produto A. Isso fecha a resolução do sistema.

Por que esta fórmula: Usamos a expressão A = 55 - 2B, substituindo B por 20.

De onde vem cada valor: $55$ = passo 2 · $2$ = passo 2 · $20$ = passo 4

Passo 6 — Calcular o total da meta mensal

Agora que temos os preços unitários, multiplicamos cada um pela meta de 500 unidades e somamos para obter o valor total que o funcionário precisa atingir no mês.

Por que esta fórmula: O total é a soma das vendas de cada produto: preço de A vezes 500 mais preço de B vezes 500.

De onde vem cada valor: $500$ = enunciado: meta de 500 unidades de cada produto · $A$ = passo 5: 15 · $B$ = passo 4: 20

$Total$ = R$ 17.500,00

Resposta: R$ 17.500,00 — alternativa E