Matemática · VUNESP · 2024 | Questão sqc-vu206539

Regra de Três Composta: Produção, Máquinas e Tempo

Gabarito: letra A — após a reformulação, o número de máquinas aumentou em 4 unidades. A resolução usa regra de três composta: a quantidade de máquinas é diretamente proporcional à produção e inversamente proporcional ao tempo de trabalho. Montando a proporção com os dados do enunciado, encontramos 64 máquinas após a reformulação, ou seja, 4 a mais que as 60 iniciais.

A regra de três composta é uma ferramenta matemática usada para resolver problemas que envolvem três ou mais grandezas, relacionadas entre si de forma direta ou inversamente proporcional. No contexto de produção industrial, é comum relacionar o número de máquinas (ou trabalhadores), o tempo de operação e a quantidade produzida. Compreender a natureza de cada relação é o passo mais importante: se o aumento de uma grandeza provoca o aumento de outra, elas são diretamente proporcionais; se provoca a diminuição, são inversamente proporcionais.

No problema, temos três grandezas: número de máquinas, horas trabalhadas por dia e unidades produzidas. Vamos analisar a relação de cada uma com a quantidade de máquinas, que é a grandeza que queremos descobrir. Se aumentarmos o número de máquinas, mantendo o tempo constante, a produção aumenta — logo, máquinas e produção são diretamente proporcionais. Se aumentarmos o número de máquinas, mantendo a produção constante, o tempo necessário diminui — logo, máquinas e tempo são inversamente proporcionais.

Com essa análise, montamos a proporção. A grandeza desconhecida é o número de máquinas após a reformulação, que chamaremos de $x$ . A relação fica:

\frac{60}{x} = \frac{100000}{80000} \times \frac{6}{8}

A fração $\frac{100000}{80000}$ representa a razão entre as produções (diretamente proporcional) e $\frac{6}{8}$ representa a razão entre os tempos (inversamente proporcional, por isso invertida). Resolvendo:

\frac{60}{x} = \frac{100000}{80000} \times \frac{6}{8} = \frac{5}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{15}{16}

Portanto, $60 \times 16 = 15x$ , o que dá $x = 64$ . Como antes havia 60 máquinas, o aumento foi de 4 unidades.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre grandezas direta e inversamente proporcionais. Muitos candidatos invertem a razão do tempo, tratando-a como diretamente proporcional, o que levaria a um resultado errado. Lembre-se: mais máquinas significam menos tempo para a mesma produção, então a razão do tempo deve ser invertida na proporção.

1Identificar grandezas
2Analisar proporcionalidade
3Montar proporção
4Inverter razão inversa
5Resolver para x

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Critério	Situação inicial	Situação após reformulação
Produção diária	100.000 unidades	80.000 unidades
Jornada de trabalho	8 horas	6 horas
Número de máquinas	60	64 (aumento de 4)
Relação com máquinas	—	Produção: diretamente proporcional; Tempo: inversamente proporcional

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A alternativa correta afirma que o número de máquinas aumentou em 4 unidades. Isso está de acordo com o cálculo: após a reformulação, são necessárias 64 máquinas, ou seja, 4 a mais que as 60 iniciais. A relação entre máquinas e produção é diretamente proporcional, e entre máquinas e tempo é inversamente proporcional, o que foi corretamente aplicado na resolução.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que o aumento foi de 2 unidades, o que corresponderia a 62 máquinas. Esse valor não satisfaz a proporção: com 62 máquinas, a produção em 6 horas seria de aproximadamente 77.500 unidades, não 80.000. O erro provavelmente vem de uma simplificação incorreta da fração ou de um equívoco na inversão da razão do tempo.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que o número de máquinas se manteve o mesmo (60). Isso implicaria que, com 60 máquinas e 6 horas de trabalho, a produção seria de 75.000 unidades, não 80.000. A redução do tempo de 8 para 6 horas exige um aumento de máquinas para compensar, o que não ocorreria se o número permanecesse constante.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que o número de máquinas diminuiu em 2 unidades, resultando em 58 máquinas. Com 58 máquinas e 6 horas, a produção seria de aproximadamente 72.500 unidades, bem abaixo das 80.000 desejadas. A diminuição do tempo de trabalho exige mais máquinas, não menos.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que o número de máquinas diminuiu em 4 unidades, resultando em 56 máquinas. Com 56 máquinas e 6 horas, a produção seria de 70.000 unidades, muito abaixo do necessário. Essa alternativa inverte completamente a lógica: a redução do tempo de trabalho exige um aumento proporcional no número de máquinas.

Gabarito: letra A