Questão de Matemática — Frações e Dízimas Periódicas — VUNESP 2024

Frações: consumo sucessivo de um todo

Gabarito: letra E — o terceiro grupo consumiu $\frac{3}{14}$ de tudo o que foi preparado. O caminho é rastrear o que sobra após cada consumo: o primeiro grupo deixa $\frac{4}{7}$ do total; o segundo consome $\frac{5}{8}$ desse resto, deixando $\frac{3}{8}$ dele; e $\frac{3}{8}$ de $\frac{4}{7}$ é $\frac{3}{14}$.

O problema é um clássico de fração de um todo consumida em etapas, em que cada grupo age sobre o que restou da etapa anterior — não sobre o total original. A armadilha está exatamente aí: muitos candidatos calculam as frações sempre sobre o total, somando $\frac{3}{7} + \frac{5}{8}$, o que não faz sentido porque o segundo grupo não consumiu $\frac{5}{8}$ do total, mas sim $\frac{5}{8}$ do que sobrou após o primeiro grupo.

A ideia central é a fração restante: se alguém consome $\frac{a}{b}$ de uma quantidade, o que sobra é $1 - \frac{a}{b} = \frac{b-a}{b}$ dessa quantidade. Aplicando isso sucessivamente, multiplicamos as frações restantes para achar a fração final do total.

Vamos ao passo a passo:

1. Primeiro grupo: consumiu $\frac{3}{7}$ do total. Sobrou $1 - \frac{3}{7} = \frac{4}{7}$ do total.

2. Segundo grupo: consumiu $\frac{5}{8}$ do que sobrou, ou seja, $\frac{5}{8} \times \frac{4}{7} = \frac{20}{56} = \frac{5}{14}$ do total. O que restou após o segundo grupo é $\frac{4}{7} - \frac{5}{14} = \frac{8}{14} - \frac{5}{14} = \frac{3}{14}$ do total.

3. Terceiro grupo: consumiu tudo o que restou, que era exatamente $\frac{3}{14}$ do total.

Outra forma de enxergar: o que sobra após o segundo grupo é $\frac{3}{8}$ do que havia após o primeiro (pois $1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$). Então a fração final é $\frac{3}{8} \times \frac{4}{7} = \frac{12}{56} = \frac{3}{14}$.

A pegadinha da banca é justamente essa: ela quer que você perceba que o segundo consumo incide sobre o resto, não sobre o total. Quem erra costuma fazer $\frac{3}{7} + \frac{5}{8} = \frac{24+35}{56} = \frac{59}{56}$, um absurdo (maior que 1), ou calcula $\frac{5}{8}$ do total e subtrai, chegando a um valor errado.

Guarde o método: para achar a fração final do total após consumos sucessivos, multiplique as frações restantes de cada etapa. É esse critério que separa as alternativas.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$\frac{3}{28}$ seria o resultado se o segundo grupo consumisse $\frac{5}{8}$ do total original e depois subtraíssemos algo, mas não é o caso. Esse número não corresponde a nenhuma etapa correta do cálculo.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$\frac{11}{56}$ é um distrator que surge de operações incorretas, como subtrair frações sem reduzir ao mesmo denominador ou calcular $\frac{5}{8}$ sobre o total e depois subtrair de $\frac{4}{7}$ de forma errada. Não há passagem lógica que leve a esse valor.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$\frac{4}{21}$ poderia ser obtido se alguém calculasse $\frac{3}{7} \times \frac{4}{9}$ ou algo similar, mas não corresponde ao encadeamento correto. É um distrator numérico sem fundamento no problema.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$\frac{1}{7}$ é um valor que aparece se o candidato simplificar incorretamente ou se confundir as frações restantes. Não é o resultado de $\frac{3}{8} \times \frac{4}{7}$.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, o terceiro grupo consome tudo o que restou, que é $\frac{3}{8}$ do que sobrou após o primeiro grupo. Como o primeiro grupo deixou $\frac{4}{7}$ do total, temos $\frac{3}{8} \times \frac{4}{7} = \frac{12}{56} = \frac{3}{14}$. A alternativa espelha exatamente a fração final do total.

Gabarito: letra E