Questão de Matemática — Proporções. Grandezas Proporcionais. Divisão em Partes Proporcionais — VUNESP 2024

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 108 pessoas — alternativa B.

A ideia por trás

Razão é uma comparação entre duas grandezas por meio de uma divisão. Quando dizemos que a razão entre mulheres e homens é 3/5, significa que, para cada 3 mulheres, há 5 homens. Essa informação sozinha não dá os números exatos, mas permite escrever uma equação: M/H = 3/5, ou seja, 5M = 3H.

Depois que 39 mulheres e 13 homens entram, a nova razão passa a ser 5/4, o que dá a segunda equação: (M+39)/(H+13) = 5/4, que pode ser reescrita como 4(M+39) = 5(H+13). Temos, então, um sistema de duas equações com duas incógnitas. A relação entre as razões é de proporcionalidade direta: se uma grandeza aumenta, a outra aumenta na mesma proporção, e a razão entre elas permanece constante se ambas forem multiplicadas pelo mesmo fator.

Esta questão cobra a montagem e resolução de um sistema de equações a partir de duas razões dadas em momentos diferentes. O passo crucial é lembrar de somar os novos integrantes aos valores iniciais antes de aplicar a segunda razão.

O que a questão dá

• razão inicial de mulheres para homens = 3/5

• entraram 39 mulheres e 13 homens

• razão final de mulheres para homens = 5/4

O que queremos: o número total de pessoas no grupo final

Passo 1 — Montar a equação da razão inicial

Precisamos traduzir a primeira informação do enunciado em uma equação. A razão entre mulheres e homens era 3/5, então escrevemos M/H = 3/5. Isso significa que, para cada 3 mulheres, havia 5 homens.

Por que esta fórmula: A razão é uma divisão entre duas grandezas. Aqui, a razão entre o número de mulheres M e o número de homens H é 3/5, então M/H = 3/5.

De onde vem cada valor: $M$ = definição: número inicial de mulheres · $H$ = definição: número inicial de homens · $3/5$ = enunciado: razão inicial

Passo 2 — Montar a equação da razão final

Após a entrada dos novos integrantes, a razão mudou. Precisamos expressar isso em uma segunda equação, lembrando de somar 39 ao número de mulheres e 13 ao número de homens.

Por que esta fórmula: A nova razão é (M+39)/(H+13) = 5/4, porque o número de mulheres agora é M+39 e o de homens é H+13.

De onde vem cada valor: $M+39$ = definição: número inicial de mulheres mais as 39 que entraram · $H+13$ = definição: número inicial de homens mais os 13 que entraram · $5/4$ = enunciado: razão final

Passo 3 — Isolar uma incógnita na primeira equação

Com duas equações e duas incógnitas, precisamos de uma estratégia para resolver. Isolar uma variável em uma equação e substituir na outra é o método mais direto.

Por que esta fórmula: Da equação M/H = 3/5, multiplicamos ambos os lados por H para obter M = (3/5)H.

De onde vem cada valor: $M$ = passo 1 · $H$ = passo 1 · $3/5$ = passo 1

Passo 4 — Substituir na segunda equação

Agora que M está em função de H, podemos substituir na equação da razão final, ficando com uma equação só com H.

Por que esta fórmula: Substituímos M por (3H)/5 na equação (M+39)/(H+13) = 5/4.

De onde vem cada valor: $\frac{3H}{5}$ = passo 3 · $39$ = enunciado · $H+13$ = passo 2 · $5/4$ = passo 2

Passo 5 — Eliminar o denominador multiplicando por 5

A equação tem uma fração no numerador, o que dificulta a resolução. Multiplicar ambos os lados por 5 elimina o denominador e simplifica.

Por que esta fórmula: Multiplicamos o numerador e o denominador do lado esquerdo por 5, e o lado direito também por 5, mantendo a igualdade.

De onde vem cada valor: $4$ = passo 2: 4(M+39) = 5(H+13) · $3H+195$ = passo 4: (3H/5)+39 = (3H+195)/5 · $5(H+13)$ = passo 2

Passo 6 — Resolver a equação para H

Agora temos uma equação linear simples. Vamos distribuir, juntar os termos com H e isolar H.

Por que esta fórmula: Da equação 4(3H+195) = 25(H+13), distribuímos: 12H+780 = 25H+325. Depois subtraímos 12H e 325 de ambos os lados: 455 = 13H, então H = 35.

De onde vem cada valor: $455$ = passo 5: 780-325 · $13$ = passo 5: 25-12

Passo 7 — Calcular o número inicial de mulheres

Com H conhecido, voltamos à expressão de M em função de H para achar o número inicial de mulheres.

Por que esta fórmula: Usamos M = (3H)/5, substituindo H por 35.

De onde vem cada valor: $3$ = passo 1 · $35$ = passo 6 · $5$ = passo 1

Passo 8 — Somar os novos integrantes ao total inicial

A pergunta é sobre o grupo FINAL, então precisamos somar as pessoas que entraram ao total inicial.

Por que esta fórmula: Total inicial = M + H = 21 + 35 = 56. Entraram 39 + 13 = 52. Total final = 56 + 52 = 108.

De onde vem cada valor: $M$ = passo 7: 21 · $H$ = passo 6: 35 · $39$ = enunciado · $13$ = enunciado

Resposta: 108 pessoas — alternativa B