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Questão de Matemática — Divisibilidade, Números Primos, Fatores Primos, Divisor e Múltiplo Comum (MMC) — VUNESP 2024

MatemáticaDivisibilidade, Números Primos, Fatores Primos, Divisor e Múltiplo Comum (MMC)
Código
vu206545
Banca
VUNESP
Órgão
Pref Catanduva
Ano
2024
Cargo
GCM ( )
O grupo A é formado por 35 pessoas, o grupo B por 70 pessoas, e o grupo C por 90 pessoas. Eles se reunirão no maior número possível de salas, de modo que o número de participantes do grupo A seja igual em cada uma das salas e o mesmo ocorra com os participantes dos outros dois grupos. Feita a divisão desse modo, é correto afirmar que, em cada sala, o número de participantes do grupo C é superado pela soma dos números de participantes dos grupos A e B em
  1. A6.
  2. B5.
  3. C4.
  4. D3.
  5. E2.
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GabaritoD — 3.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 3 — alternativa D.

A ideia por trás

O máximo divisor comum (MDC) entre dois ou mais números é o maior número que divide todos eles sem deixar resto. Ele aparece em problemas de divisão em grupos iguais: quando queremos repartir quantidades diferentes no maior número possível de partes iguais, o tamanho de cada parte é exatamente o MDC.

Para calcular o MDC, fatoramos cada número em primos e multiplicamos os fatores comuns a todos, usando o menor expoente de cada um. Por exemplo, se um fator aparece como 2² em um número e 2³ em outro, usamos 2². O MDC é o maior valor que divide todos os números ao mesmo tempo, então ele garante que a divisão seja exata e que o número de salas seja o máximo possível.

Esta questão pede o maior número de salas com quantidades iguais por grupo, o que é exatamente o MDC. Depois de achar o MDC, dividimos cada grupo por ele para saber quantos vão em cada sala e comparamos os resultados.

O que a questão dá

  • grupo A: 35 pessoas

  • grupo B: 70 pessoas

  • grupo C: 90 pessoas

O que queremos: o quanto a soma de A e B por sala supera C por sala

Passo 1 — Fatorar cada número em primos

Para achar o MDC, precisamos ver quais fatores primos os três números têm em comum. Fatorar é escrever cada número como produto de primos, e isso revela a estrutura de divisibilidade de cada um.

Por que esta fórmula: A fatoração em primos é o método padrão para calcular o MDC: ela mostra exatamente quais fatores cada número possui e com quais expoentes.

35=5×770=2×5×790=2×32×535 = 5 \times 7 \\ 70 = 2 \times 5 \times 7 \\ 90 = 2 \times 3^{2} \times 5

De onde vem cada valor: 3535 = enunciado: grupo A · 7070 = enunciado: grupo B · 9090 = enunciado: grupo C

35=5×770=2×5×790=2×32×535 = 5 \times 7 \\ 70 = 2 \times 5 \times 7 \\ 90 = 2 \times 3^{2} \times 5

35 = 5·7, 70 = 2·5·7, 90 = 2·3²·5

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de fatorar completamente, por exemplo, escrever 90 = 9 × 10 sem chegar aos primos.

Passo 2 — Achar o MDC dos três números

Com as fatorações em mãos, o MDC é o produto dos fatores comuns a todos, com o menor expoente. Isso nos dá o maior número de salas possível.

Por que esta fórmula: O MDC é definido como o produto dos fatores primos comuns a todos os números, cada um elevado ao menor expoente que aparece. Aqui, o único fator comum é o 5, então o MDC é 5.

MDC(35,70,90)=5MDC(35, 70, 90) = 5

De onde vem cada valor: 55 = passo 1: fator comum a 35, 70 e 90

MDC=5=5 salasMDC = 5 = \boxed{5\ \text{salas}}
NÃO CAIA NESSA!

Incluir fatores que não são comuns a todos, como o 2 ou o 7, o que daria um MDC maior e errado.

Passo 3 — Dividir cada grupo pelo MDC

Agora que sabemos que são 5 salas, precisamos de quantas pessoas de cada grupo vão em cada sala. Dividir o total de cada grupo pelo número de salas dá exatamente isso.

Por que esta fórmula: Se o MDC é o maior divisor comum, dividir cada quantidade por ele resulta em números inteiros que representam a quantidade por sala.

Asala=355=7Bsala=705=14Csala=905=18A_{sala} = \frac{35}{5} = 7 \\ B_{sala} = \frac{70}{5} = 14 \\ C_{sala} = \frac{90}{5} = 18

De onde vem cada valor: 3535 = enunciado: grupo A · 7070 = enunciado: grupo B · 9090 = enunciado: grupo C · 55 = passo 2: MDC

Asala=35÷5=7Bsala=70÷5=14Csala=90÷5=18=7 ,14e18pessoasporsalaA_{sala} = 35 \div 5 = 7 \\ B_{sala} = 70 \div 5 = 14 \\ C_{sala} = 90 \div 5 = 18 = \boxed{7\ , 14 \text{e} 18 \text{pessoas} \text{por} \text{sala}}
NÃO CAIA NESSA!

Dividir o total de pessoas (195) pelo MDC, o que não faz sentido porque cada grupo é dividido separadamente.

Passo 4 — Comparar a soma de A e B com C

A pergunta final é sobre a diferença entre a soma de A e B por sala e C por sala. Com os valores por sala calculados, basta somar e subtrair.

Por que esta fórmula: A soma de A e B por sala é 7 + 14 = 21. A diferença pedida é essa soma menos C por sala: 21 − 18 = 3.

diferenc¸a=(Asala+Bsala)−Csala\text{diferença} = (A_{sala} + B_{sala}) - C_{sala}

De onde vem cada valor: AsalaA_{sala} = passo 3: 7 · BsalaB_{sala} = passo 3: 14 · CsalaC_{sala} = passo 3: 18

diferenc¸a=(7+14)−18=21−18=3=3\text{diferença} = (7 + 14) - 18 = 21 - 18 = 3 = \boxed{3}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair na ordem errada (C − (A+B)) ou usar os totais (90 − (35+70)) em vez dos valores por sala.

Resposta: 3 — alternativa D

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