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Questão de Matemática — Quadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc) — VUNESP 2024

MatemáticaQuadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc)
Código
vu206547
Banca
VUNESP
Órgão
Pref Catanduva
Ano
2024
Cargo
GCM ( )
Mateus foi a uma loja de material de construção para comprar piso que deverá ser aplicado em uma sala de formato retangular de 117 m2. Para escolher o tipo de piso mais adequado Mateus foi perguntado pelo vendedor sobre as dimensões do piso para a compra de rodapés. Mateus só sabia que a largura é 4 metros menor do que o comprimento. O vendedor calculou as dimensões da sala e disse que o perímetro do salão é igual a
  1. A44 m.
  2. B46 m.
  3. C48 m.
  4. D50 m.
  5. E52 m.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 44 m.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 44 m — alternativa A.

A ideia por trás

Um retângulo é um quadrilátero com quatro ângulos retos, e suas propriedades principais são: os lados opostos são iguais, a área é o produto do comprimento pela largura, e o perímetro é a soma de todos os lados, ou seja, o dobro da soma do comprimento com a largura. O problema fornece duas informações que se relacionam: a área (117 m²) e a diferença entre as dimensões (largura = comprimento − 4). Com essas duas equações, montamos um sistema que nos permite descobrir cada dimensão separadamente.

A área de um retângulo é A = C × L, onde C é o comprimento e L é a largura. O perímetro é P = 2 × (C + L). Quando uma dimensão é dada em função da outra, substituímos na fórmula da área para obter uma equação do segundo grau, que resolvemos para encontrar as dimensões. Depois, com as dimensões conhecidas, calculamos o perímetro.

Esta questão cobra exatamente isso: montar o sistema com a área e a relação entre as dimensões, resolver a equação quadrática e, por fim, aplicar a fórmula do perímetro.

O que a questão dá

  • área da sala = 117 m²

  • largura = comprimento − 4 m

O que queremos: o perímetro da sala retangular

Passo 1 — Montar a equação da área

Precisamos traduzir as informações do enunciado em uma equação que relacione as dimensões. A área é o produto do comprimento pela largura, e a largura é o comprimento menos 4. Substituindo essa relação na fórmula da área, obtemos uma equação com uma única incógnita.

Por que esta fórmula: A área de um retângulo é A = C × L. Como L = C − 4, substituímos L na fórmula da área.

C×(C−4)=117C \times (C - 4) = 117

De onde vem cada valor: CC = definição: comprimento da sala (incógnita) · C−4C - 4 = enunciado: largura é 4 m menor que o comprimento · 117117 = enunciado: área da sala = 117 m²

C×(C−4)=117C \times (C - 4) = 117
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de distribuir o C e escrever C² − 4 = 117, em vez de C² − 4C = 117.

Passo 2 — Reorganizar a equação do segundo grau

A equação C × (C − 4) = 117 ainda não está na forma padrão ax² + bx + c = 0, que é a forma que sabemos resolver. Precisamos expandir o produto e passar o 117 para o outro lado, igualando a zero.

Por que esta fórmula: Expandindo o produto e subtraindo 117 de ambos os lados, obtemos a forma padrão da equação quadrática.

C2−4C−117=0C^{2} - 4C - 117 = 0

De onde vem cada valor: C2C^{2} = passo 1: do produto C × C · −4C-4C = passo 1: do produto C × (−4) · −117-117 = passo 1: do 117 que foi subtraído

C2−4C−117=0C^{2} - 4C - 117 = 0
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair 117 dos dois lados, deixando a equação igual a 117.

Passo 3 — Fatorar a equação do segundo grau

Com a equação na forma padrão, podemos fatorá-la para encontrar as raízes. Fatorar é escrever a expressão como um produto de dois binômios, o que facilita achar os valores de C que zeram a equação.

Por que esta fórmula: Procuramos dois números cujo produto seja −117 e cuja soma seja −4. Esses números são 9 e −13, pois 9 × (−13) = −117 e 9 + (−13) = −4.

(C−13)(C+9)=0(C - 13)(C + 9) = 0

De onde vem cada valor: C−13C - 13 = constante: fator com raiz C = 13 · C+9C + 9 = constante: fator com raiz C = −9

(C−13)(C+9)=0(C - 13)(C + 9) = 0
NÃO CAIA NESSA!

Errar os sinais: tentar (C + 13)(C − 9), que daria soma 4 e produto −117, mas o sinal da soma está errado.

Passo 4 — Encontrar o comprimento válido

A equação fatorada nos dá duas possíveis raízes, mas apenas uma faz sentido fisicamente: comprimento não pode ser negativo. Precisamos escolher a raiz positiva.

Por que esta fórmula: Se o produto de dois fatores é zero, um deles deve ser zero. Assim, C − 13 = 0 ou C + 9 = 0, resultando em C = 13 ou C = −9.

C=13 mC = 13 \text{ m}

De onde vem cada valor: 1313 = passo 3: raiz positiva da equação fatorada

C=13=13 mC = 13 = \boxed{13\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Aceitar C = −9 como resposta, esquecendo que comprimento não pode ser negativo.

Passo 5 — Calcular a largura

Com o comprimento conhecido, usamos a relação do enunciado para achar a largura. Isso é necessário porque o perímetro depende das duas dimensões.

Por que esta fórmula: A largura é 4 m menor que o comprimento, então subtraímos 4 de C.

L=C−4L = C - 4

De onde vem cada valor: CC = passo 4: 13 m · 44 = enunciado: largura é 4 m menor que o comprimento

L=13−4=9 mL = 13 - 4 = \boxed{9\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Somar 4 em vez de subtrair, obtendo 17 m.

Passo 6 — Calcular o perímetro

Agora que temos as duas dimensões, podemos calcular o perímetro, que é a soma de todos os lados do retângulo. Como os lados opostos são iguais, o perímetro é o dobro da soma do comprimento com a largura.

Por que esta fórmula: O perímetro de um retângulo é P = 2 × (C + L), pois há dois comprimentos e duas larguras.

P=2×(C+L)P = 2 \times (C + L)

De onde vem cada valor: CC = passo 4: 13 m · LL = passo 5: 9 m

P=2×(13+9)=44 mP = 2 \times (13 + 9) = \boxed{44\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar por 2 e responder 22 m, que é apenas a soma de um comprimento com uma largura.

Resposta: 44 m — alternativa A

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