Questão de Matemática — Frações e Dízimas Periódicas — VUNESP 2024

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 21 profissionais — alternativa C.

A ideia por trás

Uma razão compara duas quantidades do mesmo tipo, mostrando quantas vezes uma contém a outra. Aqui, a razão 2/5 entre o grupo de salários menores e o grupo de salários maiores significa que, para cada 2 pessoas que ganham menos, há 5 que ganham mais — é uma relação de proporção, não uma contagem exata.

Para transformar a razão em números reais, usamos uma constante de proporcionalidade k: o grupo menor tem 2k pessoas e o maior tem 5k. A soma 2k + 5k = 7k dá o total, e a diferença 5k − 2k = 3k é o quanto um grupo excede o outro. O valor de k é encontrado igualando essa diferença ao dado do problema.

Esta questão fornece a diferença entre os grupos (9 pessoas) e pede o total. Com a constante k, calculamos o total como 7k, e a diferença 3k = 9 nos dá k = 3, levando ao total 21.

O que a questão dá

• razão entre salários abaixo de R$ 2.000,00 e salários de R$ 2.000,00 ou mais = 2/5

• número de profissionais com salários de R$ 2.000,00 ou mais excede o número com salários abaixo em 9 pessoas

O que queremos: o número total de profissionais no escritório

Passo 1 — Representar os grupos com a constante k

A razão 2/5 é uma relação abstrata; precisamos transformá-la em números de pessoas. A constante k é o fator que escala a proporção para o tamanho real do escritório, então chamamos o grupo menor de 2k e o maior de 5k.

Por que esta fórmula: Se a razão entre o grupo menor e o maior é 2/5, então o menor é 2 partes e o maior é 5 partes, ambas multiplicadas pela mesma constante k para ajustar ao tamanho real.

De onde vem cada valor: $2$ = enunciado: razão 2/5 · $5$ = enunciado: razão 2/5 · $k$ = constante de proporcionalidade a determinar

Passo 2 — Montar a equação da diferença

O enunciado diz que o grupo maior excede o menor em 9 pessoas. Essa diferença é o que nos permite encontrar o valor de k, pois relaciona as expressões 2k e 5k com um número concreto.

Por que esta fórmula: A diferença entre o maior e o menor é 5k − 2k = 3k, e essa diferença é igual a 9, conforme o enunciado.

De onde vem cada valor: $5k$ = passo 1: grupo maior · $2k$ = passo 1: grupo menor · $9$ = enunciado: excede em 9 pessoas

Passo 3 — Calcular o valor de k

Com a equação 3k = 9, isolamos k para descobrir o fator de escala. Esse valor é essencial para calcular o total de profissionais.

Por que esta fórmula: Dividindo ambos os lados da equação por 3, obtemos k = 3, que é o número de pessoas por 'parte' da razão.

De onde vem cada valor: $9$ = passo 2: diferença entre os grupos · $3$ = passo 2: 5 − 2

Passo 4 — Calcular o total de profissionais

Com k = 3, podemos calcular quantas pessoas há em cada grupo e somá-las para obter o total do escritório.

Por que esta fórmula: O total é a soma do grupo menor (2k) com o maior (5k), ou seja, 7k. Substituindo k = 3, temos 7 × 3 = 21.

De onde vem cada valor: $2k$ = passo 1: grupo menor · $5k$ = passo 1: grupo maior · $k$ = passo 3: 3

Resposta: 21 profissionais — alternativa C