Questão de Matemática — Porcentagem — VUNESP 2024

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a O aumento foi de 50% (alternativa C)..

A ideia por trás

A média aritmética simples é o valor que representa um conjunto de números: soma-se todos e divide-se pela quantidade. Já a variação percentual mede o quanto um valor cresceu em relação ao inicial, expressando essa mudança como uma porcentagem — se um valor dobra, o aumento é de 100%; se cresce pela metade, é de 50%.

A variação percentual é dada por (V_f - V_i)/V_i × 100%, onde V_i é o valor inicial e V_f o final. Ela cresce proporcionalmente ao aumento absoluto: um aumento de 10 kg sobre 20 kg é 50%, mas sobre 40 kg seria apenas 25%. Para usá-la, precisamos conhecer os valores inicial e final do lixo orgânico, que dependem de x.

Esta questão exige primeiro descobrir x usando a média dos totais das duas semanas, e depois aplicar a fórmula da variação percentual ao lixo orgânico. O valor de x é a chave para encontrar os números da tabela.

O que a questão dá

• coleta semanal de papel, plástico, metal e orgânico antes e depois da campanha (valores na tabela)

• média aritmética dos totais das duas semanas = 54 kg por semana

• x é um número inteiro

O que queremos: o aumento percentual na coleta de lixo orgânico de uma semana para a outra

Passo 1 — Montar a equação da média

A média dos totais das duas semanas é 54 kg. Isso significa que a soma dos totais dividida por 2 é 54, então a soma dos totais é 108 kg. Precisamos expressar cada total em função de x para montar a equação.

Por que esta fórmula: A média aritmética é a soma dos valores dividida pelo número de valores. Aqui temos dois totais (antes e depois), então a média é (Total_antes + Total_depois)/2 = 54.

De onde vem cada valor: $T_{antes}$ = definição: soma dos valores da semana antes (papel + plástico + metal + orgânico) · $T_{depois}$ = definição: soma dos valores da semana depois (papel + plástico + metal + orgânico) · $54$ = enunciado: média = 54 kg

Passo 2 — Calcular o valor de x

Com a equação montada, resolvemos para x. Esse valor é necessário para saber a coleta de lixo orgânico antes da campanha.

Por que esta fórmula: A equação é linear: somamos os termos conhecidos, isolamos x e resolvemos.

De onde vem cada valor: $108$ = passo 1: soma dos totais = 108 · $20, 15, 10, 25, 20, 15, 30$ = enunciado: valores da tabela (papel, plástico, metal antes e depois, e orgânico depois)

Passo 3 — Identificar os valores do lixo orgânico

Agora que temos x, sabemos que a coleta de lixo orgânico antes era x kg e depois era 30 kg. Esses são os valores inicial e final para o cálculo da variação percentual.

Por que esta fórmula: Não há fórmula aqui; apenas leitura da tabela com o valor de x encontrado.

De onde vem cada valor: $x$ = passo 2: x = -27 · $30$ = enunciado: coleta de lixo orgânico depois = 30 kg

antes = -27 kg, depois = 30 kg

Passo 4 — Calcular a variação percentual

Com os valores inicial e final do lixo orgânico, aplicamos a fórmula da variação percentual para saber o aumento em porcentagem.

Por que esta fórmula: A variação percentual é a razão entre o aumento absoluto e o valor inicial, multiplicada por 100. É a forma padrão de expressar crescimento relativo.

De onde vem cada valor: $V_f$ = passo 3: 30 kg · $V_i$ = passo 3: -27 kg

Resposta: O aumento foi de 50% (alternativa C).