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Questão de Matemática — Quadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc) — VUNESP 2024

MatemáticaQuadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc)
Código
vu206555
Banca
VUNESP
Órgão
Pref Lins
Ano
2024
Cargo
Dir Esc ( )
O retângulo ABCD, que representa o terreno plano de uma escola, possui 429 m2 de área. Sabe-se ainda que o terreno possui (2x+3) metros por (7x–2) metros, como indica a figura:   Sabendo-se que 1572 = 24649, o perímetro do terreno da escola é igual aImagem associada para resolução da questão
  1. A89 m.
  2. B92 m.
  3. C94 m.
  4. D96 m.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 92 m.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 92 m — alternativa B.

A ideia por trás

Um retângulo é um quadrilátero com quatro ângulos retos, e sua área é o produto do comprimento pela largura. O perímetro é a soma de todos os lados, ou seja, duas vezes a soma do comprimento com a largura. Nesta questão, as dimensões são dadas em função de x, então precisamos primeiro descobrir o valor de x usando a informação da área.

A área de um retângulo é A = base × altura. Quando as dimensões são expressas em função de uma incógnita, igualamos o produto a um valor conhecido e resolvemos a equação resultante. O perímetro é P = 2·(base + altura). A equação da área, ao ser expandida, vira uma equação do 2º grau, que pode ser resolvida pela fórmula de Bhaskara. O discriminante (Δ) é o que está dentro da raiz; se for um quadrado perfeito, a raiz é exata.

Esta questão cobra a montagem da equação da área a partir das dimensões dadas, a resolução de uma equação do 2º grau (com a dica de que 157² = 24649) e, por fim, o cálculo do perímetro com os valores encontrados.

O que a questão dá

  • área do retângulo = 429 m²

  • dimensões: (2x+3) m e (7x−2) m

  • 157² = 24649

O que queremos: o perímetro do terreno retangular

Passo 1 — Montar a equação da área

A área do retângulo é o produto das dimensões. Como conhecemos a área (429 m²) e as dimensões em função de x, igualamos o produto a 429 para encontrar x.

Por que esta fórmula: A fórmula da área de um retângulo é A = base × altura. Aqui, base = (2x+3) e altura = (7x−2).

(2x+3)(7x−2)=429(2x+3)(7x-2) = 429

De onde vem cada valor: 2x+32x+3 = enunciado: uma das dimensões · 7x−27x-2 = enunciado: a outra dimensão · 429429 = enunciado: área do terreno

(2x+3)(7x−2)=429(2x+3)(7x-2) = 429
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de igualar a 429, ou inverter as dimensões.

Passo 2 — Expandir e simplificar a equação

Para resolver a equação, precisamos transformá-la na forma padrão ax² + bx + c = 0. Expandimos o produto e movemos todos os termos para um lado.

Por que esta fórmula: Usamos a propriedade distributiva: (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd.

14x2+17x−435=014x^{2} + 17x - 435 = 0

De onde vem cada valor: 14x214x^{2} = constante: 2·7 = 14 · 17x17x = constante: 2·(-2) + 3·7 = -4 + 21 = 17 · −435-435 = constante: 3·(-2) - 429 = -6 - 429 = -435

14x2+17x−435=014x^{2} + 17x - 435 = 0
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal ao mover o 429 para o outro lado.

Passo 3 — Calcular o discriminante

Na fórmula de Bhaskara, o discriminante Δ = b² − 4ac determina se há raízes reais e é o que aparece dentro da raiz quadrada. Calculá-lo primeiro facilita a resolução.

Por que esta fórmula: Para a equação ax² + bx + c = 0, o discriminante é Δ = b² − 4ac.

Δ=b2−4ac\Delta = b^{2} - 4ac

De onde vem cada valor: bb = passo 2: 17 · aa = passo 2: 14 · cc = passo 2: -435

Δ=172−4⋅14⋅(−435)=24649\Delta = 17^{2} - 4 \cdot 14 \cdot (-435) = \boxed{24649}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o sinal negativo de c, o que daria Δ = 289 − 24360 = −24071, sem raiz real.

Passo 4 — Extrair a raiz quadrada do discriminante

Precisamos da raiz de Δ para usar na fórmula de Bhaskara. O enunciado já fornece que 157² = 24649, então √24649 = 157.

Por que esta fórmula: A raiz quadrada é a operação inversa da potenciação: se 157² = 24649, então √24649 = 157.

Δ=157\sqrt{\Delta} = 157

De onde vem cada valor: Δ\Delta = passo 3: 24649 · 157157 = enunciado: 157² = 24649

24649=157=157\sqrt{24649} = 157 = \boxed{157}
NÃO CAIA NESSA!

Não usar a dica do enunciado e tentar calcular a raiz manualmente, perdendo tempo.

Passo 5 — Encontrar o valor de x

Com o discriminante calculado, aplicamos a fórmula de Bhaskara para achar as raízes. Como x representa uma medida, descartamos a raiz negativa.

Por que esta fórmula: A fórmula de Bhaskara é x = (−b ± √Δ) / (2a).

x=−b±Δ2ax = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}

De onde vem cada valor: bb = passo 2: 17 · Δ\sqrt{\Delta} = passo 4: 157 · aa = passo 2: 14

x=−17+1572⋅14x = \frac{-17 + 157}{2 \cdot 14}
x=5x = \boxed{5}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de descartar a raiz negativa, que daria x = −6,21, impossível para uma medida.

Passo 6 — Calcular as dimensões do terreno

Com x = 5, substituímos nas expressões das dimensões para obter os valores reais em metros.

Por que esta fórmula: As dimensões são dadas por (2x+3) e (7x−2); basta substituir x.

dimenso˜es=(2x+3) e (7x−2)\text{dimensões} = (2x+3) \text{ e } (7x-2)

De onde vem cada valor: xx = passo 5: 5

2⋅5+3=13e7⋅5−2=33=13 me33m2 \cdot 5 + 3 = 13 \quad \text{e} \quad 7 \cdot 5 - 2 = 33 = \boxed{13\ \text{m} \text{e} 33 \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a ordem das operações, por exemplo, calcular 2·(5+3) = 16 em vez de 2·5+3 = 13.

Passo 7 — Calcular o perímetro

O perímetro é a soma de todos os lados do retângulo. Com as dimensões conhecidas, aplicamos a fórmula.

Por que esta fórmula: O perímetro de um retângulo é P = 2·(comprimento + largura).

P=2⋅(13+33)P = 2 \cdot (13 + 33)

De onde vem cada valor: 1313 = passo 6: 13 m · 3333 = passo 6: 33 m · 4646 = constante: 13 + 33 = 46

P=2⋅46=92 mP = 2 \cdot 46 = \boxed{92\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Somar apenas dois lados, esquecendo de multiplicar por 2.

Resposta: 92 m — alternativa B

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