Questão de Matemática — Equações de Primeiro Grau — VUNESP 2024

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 21 pessoas — alternativa B.

A ideia por trás

Uma razão compara duas quantidades: dizer que a razão entre B e C é 5/2 significa que, para cada 2 pessoas com categoria C, há 5 com categoria B. Já uma relação de diferença diz quanto uma quantidade é maior ou menor que a outra — aqui, B é 3 unidades menor que o triplo de C, ou seja, se você triplicar C e tirar 3, obtém B.

Quando temos duas informações sobre as mesmas incógnitas, montamos um sistema de equações do 1º grau. A razão vira uma equação multiplicando em cruz: B/C = 5/2 → 2B = 5C. A relação de diferença vira outra: B = 3C - 3. Resolver o sistema é achar os valores de B e C que satisfazem as duas ao mesmo tempo.

Esta questão cobra exatamente isso: transformar as duas frases do enunciado em equações e resolver o sistema por substituição. O total de pessoas é a soma B + C.

O que a questão dá

• razão entre habilitação B e C = 5/2

• quantidade de B é 3 unidades menor que o triplo de C

• grupo formado apenas por motoristas com categorias B e C

O que queremos: o total de pessoas no grupo

Passo 1 — Montar a equação da razão

A razão entre B e C é a primeira informação. Ela diz que B está para C assim como 5 está para 2. Para transformar isso em equação, multiplicamos em cruz: o numerador de um lado vezes o denominador do outro.

Por que esta fórmula: A razão B/C = 5/2 é uma proporção; multiplicar em cruz é a forma de eliminar as frações e obter uma equação linear simples.

De onde vem cada valor: $B$ = definição: quantidade de amigos com habilitação B (incógnita) · $C$ = definição: quantidade de amigos com habilitação C (incógnita)

Passo 2 — Montar a equação da diferença

A segunda informação relaciona B e C de outra forma: B é 3 unidades menor que o triplo de C. Precisamos dela para ter duas equações independentes e conseguir achar os valores.

Por que esta fórmula: O triplo de C é 3C; '3 unidades menor' significa subtrair 3. Então B = 3C - 3.

De onde vem cada valor: $B$ = definição: quantidade de amigos com habilitação B (incógnita) · $C$ = definição: quantidade de amigos com habilitação C (incógnita)

Passo 3 — Substituir B na primeira equação

Com duas equações e duas incógnitas, o método da substituição consiste em usar uma equação para expressar uma incógnita e jogar na outra. Aqui, a segunda já dá B em função de C, então substituímos B na primeira.

Por que esta fórmula: Substituir B = 3C - 3 em 2B = 5C transforma a equação em uma só com C, que podemos resolver.

De onde vem cada valor: $B$ = passo 2: B = 3C - 3 · $2B = 5C$ = passo 1

Passo 4 — Resolver a equação para C

Agora temos uma equação do 1º grau só com C. Precisamos isolá-la para descobrir quantas pessoas têm categoria C.

Por que esta fórmula: Distribuímos o 2, depois passamos os termos com C para um lado e os números para o outro, isolando C.

De onde vem cada valor: $6C - 6$ = passo 3: 2(3C - 3) = 6C - 6 · $5C$ = passo 1: 2B = 5C · $6$ = constante: resultado da subtração 6C - 5C = 6

Passo 5 — Calcular B com o valor de C

Com C conhecido, voltamos à equação que relaciona B e C para achar B. Sem isso, não temos o total.

Por que esta fórmula: Usamos B = 3C - 3, que é a relação direta entre as duas quantidades.

De onde vem cada valor: $C$ = passo 4: 6 · $3C - 3$ = passo 2

Passo 6 — Somar B e C para achar o total

O grupo é formado apenas por motoristas das categorias B e C, então o total de pessoas é a soma das duas quantidades.

Por que esta fórmula: Total = B + C, pois não há outras categorias.

De onde vem cada valor: $B$ = passo 5: 15 · $C$ = passo 4: 6

Resposta: 21 pessoas — alternativa B