Questão de Matemática — Relações Métricas no Triângulo Retângulo (Inclui Teorema de Pitágoras) — VUNESP 2024
Matemática›Relações Métricas no Triângulo Retângulo (Inclui Teorema de Pitágoras)
Código
vu206558
Banca
VUNESP
Órgão
Pref Lins
Ano
2024
Cargo
Fisc San ( )
No quarteirão originalmente retangular de um bairro planejado que está sendo construído, com comprimento de 4 km e largura de 3 km, decidiu-se fazer uma rua de mão dupla, conforme representado na figura a seguir, em que a linha pontilhada separa as duas mãos da rua que será feita: A previsão de custo para asfaltar a rua que será construída foi feita por metro linear, ou seja, pelo comprimento da rua, uma vez que sua largura será constante, sendo de R$ 90,00 cada metro linear de asfalto. Desta forma, a previsão de custo para asfaltar a rua é de
AR$ 430.000,00.
BR$ 440.000,00.
CR$ 450.000,00.
DR$ 460.000,00.
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GabaritoC — R$ 450.000,00.
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Resolução
Gabarito: letra C — a conta chega a R$ 450.000,00 — alternativa C.
A ideia por trás
O Teorema de Pitágoras é a relação que liga os três lados de um triângulo retângulo: o quadrado do lado maior (a hipotenusa, oposto ao ângulo reto) é igual à soma dos quadrados dos outros dois (os catetos). Ele serve para descobrir uma distância quando se conhece as outras duas, como a diagonal de um retângulo, que o divide em dois triângulos retângulos.
A fórmula é a² = b² + c², onde a é a hipotenusa e b, c são os catetos. Se um cateto cresce, a hipotenusa cresce, mas não na mesma proporção: dobrar um cateto não dobra a hipotenusa, porque ela depende da raiz quadrada da soma dos quadrados. Vale para qualquer triângulo retângulo, inclusive os formados pela diagonal de um retângulo.
A rua de mão dupla é exatamente a diagonal do retângulo do quarteirão. Então o problema se reduz a calcular essa diagonal com Pitágoras e depois multiplicar pelo custo por metro, lembrando de converter quilômetros em metros.
O que a questão dá
comprimento do quarteirão = 4 km
largura do quarteirão = 3 km
custo do asfalto = R$ 90,00 por metro linear
O que queremos: o custo total para asfaltar a rua diagonal
Passo 1 — Calcular a diagonal do retângulo
A rua atravessa o quarteirão de um canto ao outro, então seu comprimento é a diagonal do retângulo. A diagonal, junto com os dois lados, forma um triângulo retângulo, e é isso que permite usar Pitágoras.
Por que esta fórmula: No triângulo retângulo formado, os lados do retângulo são os catetos e a diagonal é a hipotenusa. O Teorema de Pitágoras diz que o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos, então isolamos a diagonal.
d = √(4^2 + 3^2)
De onde vem cada valor: = enunciado: comprimento = 4 km · = enunciado: largura = 3 km · = constante: 4² = 16 · = constante: 3² = 9
NÃO CAIA NESSA!
Somar os lados (4 + 3 = 7) em vez de usar Pitágoras — isso daria 7 km, que não é a diagonal.
Passo 2 — Converter a diagonal para metros
O custo é dado por metro linear, então o comprimento da rua precisa estar em metros antes de multiplicar. Quilômetro é uma unidade maior que metro, então o número em metros fica maior.
Por que esta fórmula: 1 km = 1000 m, então para converter de km para m multiplica-se por 1000.
De onde vem cada valor: = passo 1: 5 km
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer a conversão e multiplicar 5 por 90, obtendo R$ 450,00 em vez de R$ 450.000,00.
Passo 3 — Calcular o custo total do asfalto
Agora que o comprimento está em metros, basta multiplicar pelo custo de cada metro para achar o gasto total da obra.
Por que esta fórmula: O custo total é o produto do comprimento pelo preço unitário, pois cada metro custa R$ 90,00.
De onde vem cada valor: = passo 2: 5000 m · = enunciado: R$ 90,00 por metro
= R$ 450.000,00
NÃO CAIA NESSA!
Usar o perímetro (2 × (4+3) = 14 km) em vez da diagonal, o que daria um custo muito maior.
