Questão de Matemática — Relações Métricas no Triângulo Retângulo (Inclui Teorema de Pitágoras) — VUNESP 2024

Relações Métricas no Triângulo Retângulo

Gabarito: letra D — a distância entre os apoios X e Y é $5\sqrt{2}$ metros. A escada aberta forma um triângulo retângulo isósceles com catetos de 5 m cada, e a distância entre os apoios é a hipotenusa desse triângulo, calculada pelo Teorema de Pitágoras: $d = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.

O Teorema de Pitágoras é a relação métrica fundamental do triângulo retângulo: em todo triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto) é igual à soma dos quadrados dos catetos (os dois lados que formam o ângulo reto). Essa relação é a base para resolver inúmeros problemas de geometria plana, e é exatamente o que precisamos aqui.

No problema, a escada tem 10 metros de comprimento total e, ao ser aberta, forma um ângulo de 90° entre suas duas partes. Como cada lado mede 5 metros, temos um triângulo retângulo isósceles: os dois catetos são os lados da escada (cada um com 5 m), e a distância entre os apoios X e Y no solo é a hipotenusa desse triângulo. A figura ilustra isso perfeitamente: os apoios estão nas extremidades dos catetos, e a distância entre eles é o lado que fecha o triângulo, oposto ao ângulo reto.

Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos:

Portanto, a distância entre os apoios é $5\sqrt{2}$ metros. A alternativa correta é a letra D.

A pegadinha desta questão está em reconhecer que a escada aberta forma um triângulo retângulo isósceles. Muitos candidatos podem tentar usar relações trigonométricas ou a lei dos cossenos, mas o Teorema de Pitágoras é a ferramenta mais direta e eficiente. Além disso, é importante notar que a hipotenusa é sempre o maior lado do triângulo retângulo, o que serve como conferência: $5\sqrt{2} \approx 7,07$ m, que é maior que 5 m, mas menor que a soma dos catetos (10 m), como esperado.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$5\sqrt{6}$ seria o resultado se os catetos fossem 5 e $\sqrt{6}$ vezes 5, o que não corresponde à situação. Esse valor não é obtido pela aplicação correta do Teorema de Pitágoras com catetos de 5 m. O erro aqui é provavelmente uma confusão com a diagonal de um cubo ou outra relação que envolve $\sqrt{6}$, mas não se aplica a este triângulo retângulo isósceles.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$5\sqrt{5}$ seria o resultado se a soma dos quadrados dos catetos fosse $125$ (ou seja, se cada cateto fosse $\sqrt{62,5}$), o que não é o caso. Esse valor não corresponde a nenhuma relação métrica direta com catetos de 5 m. A banca provavelmente incluiu esse distrator para testar se o candidato confunde a raiz quadrada de 50 com a de 125.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$5\sqrt{3}$ é um valor que aparece em problemas envolvendo triângulos equiláteros ou ângulos de 30° e 60°, mas não se aplica aqui. Se os catetos fossem 5 e $5\sqrt{3}$, a hipotenusa seria 10, mas isso não corresponde à situação descrita. A banca usa esse distrator para confundir quem tenta aplicar relações trigonométricas de ângulos notáveis sem identificar corretamente o triângulo.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A distância entre os apoios X e Y é a hipotenusa do triângulo retângulo isósceles formado pela escada aberta. Aplicando o Teorema de Pitágoras com catetos de 5 m:

Este é o valor correto, pois $\sqrt{50}$ pode ser simplificado para $5\sqrt{2}$, já que $50 = 25 \times 2$ e $\sqrt{25} = 5$.

Gabarito: letra D