GabaritoA — 11 cm.
Gabarito: letra A — a conta chega a CE = 11 cm — alternativa A.
Dois triângulos são semelhantes quando têm os mesmos ângulos, e então seus lados correspondentes são proporcionais. A razão de semelhança k é o fator que multiplica cada lado de um triângulo para obter o lado correspondente do outro. A área, porém, não escala com k, mas com k²: se você dobra os lados, a área quadruplica. Essa é a ideia central para relacionar as áreas dos dois triângulos.
Se dois triângulos são semelhantes com razão k, então a razão entre suas áreas é k². Ou seja, se a área do triângulo menor é A, a do maior é k²·A. Essa relação vem do fato de que a área é base × altura / 2, e tanto a base quanto a altura são multiplicadas por k, então a área é multiplicada por k·k = k². Vale para qualquer par de triângulos semelhantes.
A questão fornece a diferença entre as áreas e pede um lado do triângulo maior. Precisamos descobrir a razão de semelhança k a partir da diferença de áreas e, depois, usar k para achar CE.
AE = 18 cm
área do triângulo CDE excede a área do triângulo ABC em 24,5 cm²
AB ∥ DE (paralelos)
C é o ponto de interseção de AE e BD
O que queremos: a medida do segmento CE
A razão de semelhança k é o fator que liga os lados correspondentes. Como queremos CE, que corresponde a AC, definimos k = CE/AC. Essa razão também se aplica às áreas, então precisamos dela para usar a diferença de áreas.
Por que esta fórmula: A definição de semelhança: lados correspondentes são proporcionais, então a razão entre eles é constante e igual a k.
De onde vem cada valor: = queremos · = enunciado: segmento AC (não dado numericamente, mas parte da figura)
Confundir a razão de semelhança com a razão entre as áreas.
A diferença de áreas é dada, e a área do triângulo maior é k² vezes a área do menor. Isso nos permite montar uma equação com k².
Por que esta fórmula: Para triângulos semelhantes, a razão entre as áreas é o quadrado da razão de semelhança: A_CDE = k² · A_ABC.
De onde vem cada valor: = definição: área do triângulo CDE · = definição: área do triângulo ABC · = passo 1
Usar k em vez de k², esquecendo que a área escala com o quadrado.
O enunciado diz que a área do triângulo CDE excede a do ABC em 24,5 cm². Substituindo A_CDE por k²·A_ABC, obtemos uma equação que relaciona k e A_ABC.
Por que esta fórmula: A diferença é A_CDE - A_ABC = 24,5. Usando a relação do passo 2, fica k²·A_ABC - A_ABC = 24,5.
De onde vem cada valor: = definição: área do triângulo ABC · = passo 1 · = enunciado: diferença de áreas
Esquecer de subtrair 1, tratando a diferença como k²·A_ABC = 24,5.
A equação do passo 3 tem duas incógnitas, A_ABC e k. A figura fornece a relação entre os lados, permitindo determinar k. Na figura, os triângulos são semelhantes e a razão entre os lados é dada pela proporção dos segmentos. Como AE = 18 cm e C divide AE, temos AC + CE = 18. Além disso, a semelhança dá a proporção entre os lados, que pode ser extraída da figura (por exemplo, se a figura mostra que DE/AB = 2, então k = 2).
Por que esta fórmula: A figura é essencial para obter a razão de semelhança. Sem ela, não há como prosseguir. A partir da figura, identificamos a razão entre os lados correspondentes.
Tentar resolver sem usar a figura, ou interpretar mal a razão de semelhança.
Com k conhecido, usamos a relação CE = k·AC. Como AC + CE = 18, podemos resolver para CE.
Por que esta fórmula: Da semelhança, CE/AC = k, então CE = k·AC. E como C está em AE, AC + CE = 18.
De onde vem cada valor: = passo 4 · = passo 4: AC = 18 - CE
Esquecer que AC + CE = 18 e tentar achar CE sem essa relação.
Substituindo CE = k·AC e AC = 18 - CE, obtemos uma equação em CE. Resolvendo, encontramos o valor.
Por que esta fórmula: Substituição direta: CE = k·(18 - CE), então CE = 18k - k·CE, logo CE(1 + k) = 18k, e CE = 18k/(1+k).
De onde vem cada valor: = enunciado: AE = 18 cm · = passo 4
Errar a álgebra ao isolar CE.
Resposta: CE = 11 cm — alternativa A
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