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Questão de Matemática — Divisibilidade, Números Primos, Fatores Primos, Divisor e Múltiplo Comum (MMC) — VUNESP 2024

MatemáticaDivisibilidade, Números Primos, Fatores Primos, Divisor e Múltiplo Comum (MMC)
Código
vu206573
Banca
VUNESP
Órgão
Pref Peruíbe
Ano
2024
Cargo
Eng ( )
Em uma caixa há uma quantidade de livros menor que 100 unidades, que serão colocados nas prateleiras de uma estante, de modo que cada prateleira utilizada fique com a mesma quantidade de livros. Dessa forma, é possível colocar, ou 15 livros, ou 18 livros em cada prateleira, e qualquer que seja a opção, não sobrarão livros na caixa. A quantidade mínima de livros que deve ser adicionada à quantidade já existente na caixa, de modo que se possa colocar, em cada prateleira utilizada, ou 16 livros ou 18 livros, sem que ocorra sobra de livros, é
  1. A54.
  2. B50.
  3. C44.
  4. D40.
  5. E34.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 54.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 54 livros — alternativa A.

A ideia por trás

Múltiplo comum é um número que pode ser dividido por dois ou mais números sem deixar resto. O mínimo múltiplo comum (MMC) é o menor desses números. Se uma quantidade pode ser dividida em grupos iguais sem sobrar nada, ela é múltipla do tamanho de cada grupo.

Para achar o MMC, fatoramos cada número em primos e pegamos os fatores comuns e não comuns com o maior expoente. O MMC de 15 e 18 é 90, pois 15 = 3×5 e 18 = 2×3², então MMC = 2×3²×5 = 90. Já o MMC de 16 e 18 é 144, pois 16 = 2⁴ e 18 = 2×3², então MMC = 2⁴×3² = 144. Qualquer múltiplo comum de dois números é múltiplo do MMC deles.

Precisamos primeiro descobrir a quantidade inicial de livros, que é o único múltiplo comum de 15 e 18 menor que 100. Depois, o novo total deve ser múltiplo de 144, e a adição mínima é a diferença entre o menor múltiplo de 144 maior que a quantidade inicial e essa quantidade.

O que a questão dá

  • quantidade de livros na caixa: menor que 100

  • possível dividir em grupos de 15 ou de 18 sem sobrar

  • novo total deve ser divisível por 16 ou por 18 sem sobrar

O que queremos: a quantidade mínima de livros a adicionar para que o novo total seja múltiplo de 16 e de 18

Passo 1 — Calcular o MMC de 15 e 18

A quantidade inicial de livros é um múltiplo comum de 15 e 18, pois pode ser dividida em grupos de 15 ou de 18 sem sobrar. Para achar todos os múltiplos comuns, primeiro precisamos do menor deles, o MMC.

Por que esta fórmula: O MMC é o produto dos fatores primos com os maiores expoentes. Fatoramos 15 = 3×5 e 18 = 2×3². Pegamos o 2 (que só aparece em 18), o 3² (maior expoente de 3) e o 5 (que só aparece em 15).

MMC(15,18)=2×32×5MMC(15, 18) = 2 \times 3^{2} \times 5

De onde vem cada valor: 22 = definição: fator primo de 18 · 323^{2} = definição: maior expoente de 3 entre 15 e 18 · 55 = definição: fator primo de 15

MMC(15,18)=2×9×5=90MMC(15, 18) = 2 \times 9 \times 5 = \boxed{90}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o fator 5 e calcular 2×9 = 18, que não é múltiplo de 15.

Passo 2 — Identificar a quantidade inicial de livros

O MMC é 90, mas a quantidade inicial pode ser qualquer múltiplo de 90. Como o enunciado diz que é menor que 100, o único múltiplo possível é o próprio 90.

Por que esta fórmula: Os múltiplos de 90 são 0, 90, 180, 270... O único menor que 100 é 90.

90 livros\boxed{90\ \text{livros}}
NÃO CAIA NESSA!

Considerar 180 ou outro múltiplo maior que 100, ignorando a condição do enunciado.

Passo 3 — Calcular o MMC de 16 e 18

O novo total deve ser divisível por 16 e por 18, ou seja, deve ser múltiplo comum desses números. Para achar os múltiplos comuns, precisamos do MMC.

Por que esta fórmula: Fatoramos 16 = 2⁴ e 18 = 2×3². O MMC pega o maior expoente de cada primo: 2⁴ e 3².

MMC(16,18)=24×32MMC(16, 18) = 2^{4} \times 3^{2}

De onde vem cada valor: 242^{4} = definição: fatoração de 16 · 323^{2} = definição: fatoração de 18

MMC(16,18)=16×9=144MMC(16, 18) = 16 \times 9 = \boxed{144}
NÃO CAIA NESSA!

Usar o MDC (2) em vez do MMC, o que daria um resultado absurdo.

Passo 4 — Encontrar o menor múltiplo de 144 maior que 90

O novo total deve ser múltiplo de 144 e também deve ser maior que a quantidade inicial (90), pois vamos adicionar livros. O menor múltiplo de 144 é o próprio 144.

Por que esta fórmula: Os múltiplos de 144 são 144, 288, 432... O primeiro é 144, que já é maior que 90.

144\boxed{144}
NÃO CAIA NESSA!

Achar que precisa ser o próximo múltiplo depois de 90, mas 144 já é o primeiro e serve.

Passo 5 — Subtrair a quantidade inicial do novo total

A quantidade a adicionar é a diferença entre o novo total (144) e o que já existe (90).

Por que esta fórmula: Se o total final é 144 e já temos 90, adicionamos 144 − 90.

adicionar=144−90adicionar = 144 - 90

De onde vem cada valor: 144144 = passo 4 · 9090 = passo 2

adicionar=144−90=54 livrosadicionar = 144 - 90 = \boxed{54\ \text{livros}}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair 90 de 100 (limite) e obter 10, ou subtrair 100 de 144 e obter 44.

Resposta: 54 livros — alternativa A

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