Pular para o conteúdo principal

Questão de Matemática — Divisibilidade, Números Primos, Fatores Primos, Divisor e Múltiplo Comum (MMC) — VUNESP 2024

MatemáticaDivisibilidade, Números Primos, Fatores Primos, Divisor e Múltiplo Comum (MMC)
Código
vu206576
Banca
VUNESP
Órgão
Pref Peruíbe
Ano
2024
Cargo
Eng ( )
Têm-se 180 livros de crônica e 300 livros de romance para serem colocados em estantes, cada uma contendo a mesma quantidade de livros e de só um dos dois gêneros. Se a quantidade de livros em cada estante tem que ser a máxima possível, e não pode haver sobra de livros, então é certo que o número de estantes com livros do gênero romance deverá exceder o número de estantes com livros do gênero crônica em
  1. A2 unidades.
  2. B3 unidades.
  3. C4 unidades.
  4. D5 unidades.
  5. E6 unidades.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 2 unidades.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 2 unidades — alternativa A.

A ideia por trás

O máximo divisor comum (MDC) entre dois números é o maior número que divide os dois exatamente, sem deixar resto. Ele aparece quando precisamos repartir quantidades em grupos iguais do maior tamanho possível, como dividir livros em estantes com a mesma capacidade.

Para achar o MDC, fatoramos cada número em primos e multiplicamos os fatores comuns com o menor expoente. Por exemplo, 180 = 2² × 3² × 5 e 300 = 2² × 3 × 5²; os fatores comuns são 2², 3 e 5, então MDC = 2² × 3 × 5 = 60. Esse valor é o maior tamanho de estante que serve para os dois gêneros sem sobras.

A questão pede exatamente isso: a maior quantidade de livros por estante que divide tanto 180 quanto 300. Depois de achar o MDC, dividimos cada total por ele para obter o número de estantes de cada gênero e comparamos.

O que a questão dá

  • 180 livros de crônica

  • 300 livros de romance

  • cada estante com a mesma quantidade de livros

  • cada estante com livros de um só gênero

  • quantidade máxima possível

  • sem sobra de livros

O que queremos: a diferença entre o número de estantes de romance e o de crônica

Passo 1 — Fatorar 180 em primos

Para calcular o MDC, precisamos da decomposição em fatores primos de cada número. Isso mostra quais fatores são comuns e com quais expoentes.

Por que esta fórmula: A fatoração é a base do cálculo do MDC: escrevemos o número como produto de primos.

180=22×32×5180 = 2^{2} \times 3^{2} \times 5

De onde vem cada valor: 180180 = enunciado: 180 livros de crônica

180=2×2×3×3×5=2 2×32×5180 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = \boxed{2\ ^{2} \times 3^{2} \times 5}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a fatoração, por exemplo, esquecer o fator 5 ou usar 2³ em vez de 2².

Passo 2 — Fatorar 300 em primos

Precisamos da fatoração dos dois números para comparar os fatores comuns.

Por que esta fórmula: A fatoração é a base do cálculo do MDC.

300=22×3×52300 = 2^{2} \times 3 \times 5^{2}

De onde vem cada valor: 300300 = enunciado: 300 livros de romance

300=2×2×3×5×5=2 2×3×52300 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 \times 5 = \boxed{2\ ^{2} \times 3 \times 5^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a fatoração, por exemplo, usar 2³ em vez de 2² ou esquecer o fator 3.

Passo 3 — Calcular o MDC entre 180 e 300

O MDC é o maior número que divide os dois totais, ou seja, a maior quantidade de livros por estante que serve para ambos os gêneros sem sobras.

Por que esta fórmula: O MDC é o produto dos fatores primos comuns com o menor expoente. Comparando as fatorações, os fatores comuns são 2, 3 e 5; os menores expoentes são 2², 3¹ e 5¹.

MDC=22×3×5MDC = 2^{2} \times 3 \times 5

De onde vem cada valor: 222^{2} = passo 1 e passo 2: fator comum com menor expoente · 33 = passo 1 e passo 2: fator comum com menor expoente · 55 = passo 1 e passo 2: fator comum com menor expoente

MDC=4×3×5=60MDC = 4 \times 3 \times 5 = \boxed{60}
NÃO CAIA NESSA!

Usar o maior expoente em vez do menor, o que daria 2² × 3² × 5² = 900 (o MMC).

Passo 4 — Dividir 180 por 60 para achar as estantes de crônica

Com o tamanho máximo de cada estante (60 livros), o número de estantes de cada gênero é a divisão do total por 60.

Por que esta fórmula: Se cada estante tem 60 livros, o número de estantes é o total dividido por 60.

Ncron=18060N_{cron} = \frac{180}{60}

De onde vem cada valor: 180180 = enunciado: 180 livros de crônica · 6060 = passo 3: MDC

Ncron=18060=3 estantesN_{cron} = \frac{180}{60} = \boxed{3\ \text{estantes}}
NÃO CAIA NESSA!

Dividir 180 por 30 ou por outro divisor, o que não daria o número máximo de estantes.

Passo 5 — Dividir 300 por 60 para achar as estantes de romance

Mesmo raciocínio do passo anterior, agora para os romances.

Por que esta fórmula: Se cada estante tem 60 livros, o número de estantes é o total dividido por 60.

Nrom=30060N_{rom} = \frac{300}{60}

De onde vem cada valor: 300300 = enunciado: 300 livros de romance · 6060 = passo 3: MDC

Nrom=30060=5 estantesN_{rom} = \frac{300}{60} = \boxed{5\ \text{estantes}}
NÃO CAIA NESSA!

Dividir 300 por 60 e errar a conta, ou usar outro divisor.

Passo 6 — Subtrair o número de estantes de crônica do de romance

A pergunta é 'em quanto o número de estantes de romance excede o de crônica', então subtraímos o menor do maior.

Por que esta fórmula: A diferença é a subtração entre as quantidades.

D=Nrom−NcronD = N_{rom} - N_{cron}

De onde vem cada valor: NromN_{rom} = passo 5: 5 estantes · NcronN_{cron} = passo 4: 3 estantes

D=5−3=2 unidadesD = 5 - 3 = \boxed{2\ \text{unidades}}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair ao contrário (3 - 5 = -2) e marcar alternativa errada.

Resposta: 2 unidades — alternativa A

Link permanente: /questoes/vu206576