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Questão de Matemática — Equações de Segundo Grau e Equações Biquadradas — VUNESP 2024

MatemáticaEquações de Segundo Grau e Equações Biquadradas
Código
vu206578
Banca
VUNESP
Órgão
Pref Peruíbe
Ano
2024
Cargo
Eng ( )
Um total de 224 unidades de certo produto, enumeradas de 001 até 224, serão embaladas em determinado tipo de caixa, na qual se pode guardar uma quantidade máxima desse produto, de modo que a diferença entre a quantidade máxima de produtos guardados em cada caixa e o número de caixas é igual a 20. Esses produtos serão guardados de forma ordenada, pela enumeração, em uma quantidade mínima de caixas. Sendo assim, ao colocar o produto com número 147 dentro de uma das caixas, o número total de caixas completamente cheias será igual a
  1. A2.
  2. B3.
  3. C4.
  4. D5.
  5. E6.
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GabaritoD — 5.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 5 caixas completamente cheias — alternativa D.

A ideia por trás

Uma equação do segundo grau é uma igualdade em que a incógnita aparece elevada ao quadrado, e sua forma geral é ax² + bx + c = 0. Ela aparece quando duas grandezas se multiplicam e também se somam ou subtraem, como aqui: o total de produtos é o produto da capacidade pela quantidade de caixas, e a diferença entre elas é dada. Resolver essa equação significa achar os valores da incógnita que tornam a igualdade verdadeira, e a fórmula de Bhaskara é o método que sempre funciona para isso.

A fórmula de Bhaskara é x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a), onde a, b e c são os coeficientes da equação ax² + bx + c = 0. O discriminante Δ = b² - 4ac decide quantas soluções existem: se Δ > 0, há duas raízes reais; se Δ = 0, uma; se Δ < 0, nenhuma real. Aqui, como o número de caixas não pode ser negativo, descartamos a raiz negativa e ficamos com a positiva.

Esta questão cobra exatamente isso: montar a equação do segundo grau a partir das relações do problema, resolvê-la com Bhaskara e depois usar a capacidade encontrada para fazer uma divisão inteira e descobrir quantas caixas já estão cheias.

O que a questão dá

  • total de produtos = 224

  • diferença entre capacidade da caixa e número de caixas = 20

  • produto de interesse = 147

O que queremos: o número de caixas completamente cheias quando o produto 147 é colocado

Passo 1 — Montar o sistema de equações

O problema dá duas informações: a diferença entre a capacidade da caixa e o número de caixas é 20, e o total de produtos é 224. Como cada caixa comporta uma quantidade máxima e há um certo número de caixas, o total é o produto dessas duas quantidades. Precisamos transformar essas frases em equações para poder trabalhar com elas.

Por que esta fórmula: Se chamarmos a capacidade de cada caixa de c e o número de caixas de n, a frase 'a diferença entre a quantidade máxima de produtos guardados em cada caixa e o número de caixas é igual a 20' vira c - n = 20. E 'um total de 224 unidades' vira c × n = 224. São duas equações com duas incógnitas, um sistema.

{c−n=20c×n=224\begin{cases} c - n = 20 \\ c \times n = 224 \end{cases}

De onde vem cada valor: cc = definição: capacidade de cada caixa (incógnita) · nn = definição: número de caixas (incógnita) · 2020 = enunciado: diferença entre capacidade e número de caixas · 224224 = enunciado: total de produtos

NÃO CAIA NESSA!

Trocar a ordem da diferença: escrever n - c = 20 em vez de c - n = 20. Como a capacidade é maior que o número de caixas (a diferença é positiva), a ordem correta é c - n.

Passo 2 — Isolar uma incógnita e substituir

Com duas equações e duas incógnitas, o método da substituição é direto: isolamos uma incógnita em uma equação e a usamos na outra. Isso transforma o sistema em uma única equação com uma só incógnita, que sabemos resolver.

Por que esta fórmula: Da primeira equação, c - n = 20, isolamos c = n + 20. Substituindo na segunda, (n + 20) × n = 224. Essa é a equação do segundo grau que precisamos resolver.

c=n+20c = n + 20

De onde vem cada valor: cc = passo 1: capacidade da caixa · nn = passo 1: número de caixas · 2020 = enunciado: diferença

c=n+20c = n + 20
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de distribuir o n: escrever n² + 20 = 224 em vez de n² + 20n = 224. O n multiplica tanto o n quanto o 20.

Passo 3 — Escrever a equação na forma geral

A fórmula de Bhaskara só se aplica a equações na forma ax² + bx + c = 0. A equação que temos, n² + 20n = 224, ainda não está nesse formato, então precisamos rearranjá-la.

Por que esta fórmula: Subtraímos 224 dos dois lados para zerar o lado direito: n² + 20n - 224 = 0. Agora identificamos a = 1, b = 20 e c = -224.

n2+20n−224=0n^{2} + 20n - 224 = 0

De onde vem cada valor: n2n^{2} = passo 2: n × n · 20n20n = passo 2: 20 × n · −224-224 = passo 2: subtraído de ambos os lados

n2+20n−224=0n^{2} + 20n - 224 = 0
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o sinal de menos no 224: se escrever +224, o discriminante muda e as raízes saem erradas.

Passo 4 — Calcular o discriminante

O discriminante Δ = b² - 4ac é a parte da fórmula de Bhaskara que fica dentro da raiz quadrada. Calculá-lo primeiro simplifica a conta e já indica quantas soluções existem.

Por que esta fórmula: Na fórmula de Bhaskara, o termo sob a raiz é b² - 4ac. Com a = 1, b = 20 e c = -224, temos Δ = 20² - 4·1·(-224).

Δ=b2−4ac\Delta = b^{2} - 4ac

De onde vem cada valor: bb = passo 3: 20 · aa = passo 3: 1 · cc = passo 3: -224

Δ=202−4×1×(−224)=1296\Delta = 20^{2} - 4 \times 1 \times (-224) = \boxed{1296}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal ao multiplicar 4·1·(-224): o resultado é -896, e subtrair -896 é o mesmo que somar 896. Se esquecer o sinal, Δ fica 400 - 896 = -496, e a raiz não é exata.

Passo 5 — Aplicar a fórmula de Bhaskara

Com o discriminante calculado, podemos encontrar as raízes da equação. A fórmula de Bhaskara dá as duas soluções possíveis para n.

Por que esta fórmula: A fórmula é n = (-b ± √Δ) / (2a). Substituímos a, b e Δ pelos valores já conhecidos.

n=−b±Δ2an = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}

De onde vem cada valor: bb = passo 3: 20 · Δ\Delta = passo 4: 1296 · aa = passo 3: 1

n=−20±12962×1n = \frac{-20 \pm \sqrt{1296}}{2 \times 1}

n = 8 ou n = -28

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o ± e considerar apenas uma raiz. As duas precisam ser calculadas para depois descartar a negativa.

Passo 6 — Descartar a raiz negativa e achar a capacidade

O número de caixas não pode ser negativo, então descartamos n = -28 e ficamos com n = 8. Com o número de caixas, calculamos a capacidade de cada caixa usando a relação do passo 2.

Por que esta fórmula: Usamos c = n + 20, que já isolamos. Substituindo n = 8, temos c = 8 + 20 = 28.

c=n+20c = n + 20

De onde vem cada valor: nn = passo 5: 8 · 2020 = enunciado: diferença

c=8+20=28 produtosporcaixac = 8 + 20 = \boxed{28\ \text{produtos} \text{por} \text{caixa}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de descartar a raiz negativa e usar n = -28, o que daria capacidade negativa e sem sentido.

Passo 7 — Descobrir em qual caixa está o produto 147

Os produtos são guardados em ordem, preenchendo cada caixa até o limite. Para saber quantas caixas estão cheias quando o produto 147 é colocado, precisamos ver quantas caixas completas cabem antes dele.

Por que esta fórmula: Dividimos 147 pela capacidade de cada caixa (28). O quociente inteiro indica quantas caixas completas já foram preenchidas antes do produto 147.

caixas cheias antes=⌊14728⌋\text{caixas cheias antes} = \left\lfloor \frac{147}{28} \right\rfloor

De onde vem cada valor: 147147 = enunciado: número do produto · 2828 = passo 6: capacidade de cada caixa

⌊14728⌋=⌊5,25⌋=5\left\lfloor \frac{147}{28} \right\rfloor = \left\lfloor 5{,}25 \right\rfloor = 5

5 caixas cheias

NÃO CAIA NESSA!

Arredondar 5,25 para 6 e achar que são 6 caixas cheias. O piso (parte inteira) é 5, pois a 6ª caixa ainda não está completa.

Resposta: 5 caixas completamente cheias — alternativa D

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