Questão de Matemática — Equações de Segundo Grau e Equações Biquadradas — VUNESP 2024

Equações do 2º grau: resolução de x² = 64

Gabarito: letra B. A equação $x^2 = 64$ é um caso particular de equação do 2º grau (com $b = 0$ e $c = -64$), e suas soluções são os números que, elevados ao quadrado, resultam em 64: $x = 8$ e $x = -8$. Isso decorre diretamente da definição de raiz quadrada: $\sqrt{64} = 8$, e como $(-8)^2 = 64$, ambos os valores satisfazem a equação.

Uma equação do 2º grau tem a forma geral $ax^2 + bx + c = 0$, com $a \neq 0$. Quando o coeficiente $b$ é zero, a equação se reduz a $ax^2 + c = 0$, e a resolução é imediata: isolamos $x^2$ e extraímos a raiz quadrada, lembrando que a raiz quadrada de um número positivo tem dois resultados: um positivo e um negativo. No caso de $x^2 = 64$, temos:

Portanto, o conjunto solução é $S = \{-8, 8\}$.

A banca explora exatamente a confusão entre a raiz quadrada aritmética (que é sempre não negativa) e a solução da equação (que admite os dois sinais). Muitos candidatos marcam apenas $x = 8$, esquecendo que $(-8)^2 = 64$ também. Outros confundem a operação de elevar ao quadrado com a de multiplicar por 2, chegando a valores como 16 ou 32.

Para resolver qualquer equação do tipo $x^2 = k$ (com $k > 0$), basta aplicar a raiz quadrada nos dois lados, sempre com o sinal $\pm$:

Se $k$ for negativo, não há solução real; se $k$ for zero, a única solução é $x = 0$. Essa é a lógica por trás dos casos particulares da equação quadrática, como os que aparecem no material de apoio: quando $b = 0$, a equação se reduz a $ax^2 + c = 0$, e a solução é obtida isolando $x^2$ e extraindo a raiz. Quando $c = 0$, a equação se reduz a $ax^2 + bx = 0$, que pode ser resolvida por fatoração, colocando $x$ em evidência. Esses casos particulares são frequentemente cobrados em provas, e a chave é reconhecer qual coeficiente é nulo para escolher o método mais rápido.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que as soluções são $x' = 4$ e $x'' = -4$. Isso está errado porque $4^2 = 16$, não 64. O candidato que marca esta alternativa provavelmente confundiu a raiz quadrada de 64 com a de 16, ou aplicou incorretamente a operação de elevar ao quadrado. A raiz quadrada de 64 é 8, não 4.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A equação $x^2 = 64$ tem como soluções $x = 8$ e $x = -8$, pois $8^2 = 64$ e $(-8)^2 = 64$. A resolução é direta: $x = \pm \sqrt{64} = \pm 8$. Portanto, o conjunto solução é $S = \{-8, 8\}$, exatamente o que a alternativa apresenta.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que as soluções são $x' = 12$ e $x'' = -12$. Isso está errado porque $12^2 = 144$, não 64. O candidato que marca esta alternativa provavelmente somou 8 + 4 ou aplicou algum raciocínio incorreto. A raiz quadrada de 64 é 8, não 12.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que as soluções são $x' = 16$ e $x'' = -16$. Isso está errado porque $16^2 = 256$, não 64. O candidato que marca esta alternativa provavelmente confundiu a operação de elevar ao quadrado com a de multiplicar por 2 (64 × 2 = 128, não 16), ou aplicou a raiz quadrada de forma incorreta. A raiz quadrada de 64 é 8, não 16.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que as soluções são $x' = 32$ e $x'' = -32$. Isso está errado porque $32^2 = 1024$, não 64. O candidato que marca esta alternativa provavelmente confundiu a operação de elevar ao quadrado com a de multiplicar por 2 (64 × 2 = 128, não 32), ou aplicou a raiz quadrada de forma incorreta. A raiz quadrada de 64 é 8, não 32.

Gabarito: letra B