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Questão de Matemática — Divisibilidade, Números Primos, Fatores Primos, Divisor e Múltiplo Comum (MMC) — VUNESP 2024

MatemáticaDivisibilidade, Números Primos, Fatores Primos, Divisor e Múltiplo Comum (MMC)
Código
vu206586
Banca
VUNESP
Órgão
Pref Peruíbe
Ano
2024
Cargo
GCM ( )
Um marceneiro precisa cortar três tábuas, que medem 90 cm, 120 cm e 150 cm cada, em pedaços iguais e do maior tamanho possível.   Após o último corte, o número de pedaços de tábuas que ele terá é igual a
  1. A5.
  2. B8.
  3. C9.
  4. D10.
  5. E12.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 12.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 12 pedaços — alternativa E.

A ideia por trás

O máximo divisor comum (MDC) entre dois ou mais números é o maior número que divide todos eles exatamente. No mundo real, ele serve para repartir coisas em porções iguais e do maior tamanho possível, sem sobrar nada — como cortar tábuas em pedaços de mesmo comprimento.

Para achar o MDC, fatoramos os números em primos e multiplicamos apenas os fatores que aparecem em todos eles, com o menor expoente. Por exemplo, 90 = 2 × 3² × 5, 120 = 2³ × 3 × 5 e 150 = 2 × 3 × 5²; os fatores comuns são 2, 3 e 5, então MDC = 2 × 3 × 5 = 30. Se um fator não aparece em todos, ele não entra.

Esta questão pede exatamente o MDC dos três comprimentos: o tamanho do pedaço é o MDC, e depois dividimos cada tábua por ele para saber quantos pedaços saem de cada uma.

O que a questão dá

  • tábua 1 = 90 cm

  • tábua 2 = 120 cm

  • tábua 3 = 150 cm

O que queremos: o número total de pedaços iguais e do maior tamanho possível

Passo 1 — Fatorar os três comprimentos em primos

Para achar o maior pedaço comum, precisamos ver quais fatores primos os três números compartilham. Fatorar é escrever cada número como produto de primos — é a base para comparar os divisores.

Por que esta fórmula: Não há fórmula; é a decomposição em fatores primos, dividindo sucessivamente pelos menores primos até sobrar 1.

90 = 2 × 3² × 5; 120 = 2³ × 3 × 5; 150 = 2 × 3 × 5²

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de fatorar completamente, por exemplo, parar em 90 = 9 × 10 sem decompor 9 e 10.

Passo 2 — Multiplicar os fatores comuns a todos

O MDC é o produto dos fatores primos que aparecem em TODAS as fatorações, com o menor expoente. Isso garante que o número resultante divide cada um deles.

Por que esta fórmula: A regra do MDC: pegar cada primo comum e usar o menor expoente entre as três fatorações. Aqui, 2¹, 3¹ e 5¹ são os menores expoentes.

MDC=2×3×5MDC = 2 \times 3 \times 5

De onde vem cada valor: 22 = passo 1: fator comum com menor expoente (1) nas três fatorações · 33 = passo 1: fator comum com menor expoente (1) nas três fatorações · 55 = passo 1: fator comum com menor expoente (1) nas três fatorações

MDC=2×3×5=30 cmMDC = 2 \times 3 \times 5 = \boxed{30\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Incluir fatores que não são comuns a todos, como o 2² de 120, o que daria um divisor maior que não divide 90.

Passo 3 — Dividir cada tábua pelo tamanho do pedaço

Agora que sabemos que cada pedaço terá 30 cm, precisamos descobrir quantos pedaços saem de cada tábua. Dividir o comprimento total pelo tamanho do pedaço dá a quantidade.

Por que esta fórmula: A quantidade de pedaços de uma tábua é o comprimento total dividido pelo comprimento de cada pedaço.

ni=LiMDCn_i = \frac{L_i}{MDC}

De onde vem cada valor: LiL_i = enunciado: 90 cm, 120 cm, 150 cm · MDCMDC = passo 2: 30 cm

n1=9030=3;n2=12030=4;n3=15030=5=3 ,4e5pedac\cosn_1 = \frac{90}{30} = 3; n_2 = \frac{120}{30} = 4; n_3 = \frac{150}{30} = 5 = \boxed{3\ , 4 \text{e} 5 \text{peda}ç\text{os}}
NÃO CAIA NESSA!

Dividir na ordem errada, por exemplo, 30 ÷ 90, o que daria fração e não faz sentido.

Passo 4 — Somar os pedaços de todas as tábuas

O problema pede o número total de pedaços, então precisamos juntar as quantidades obtidas de cada tábua.

Por que esta fórmula: O total é a soma das quantidades individuais, pois cada pedaço é único e não se misturam.

Total=n1+n2+n3Total = n_1 + n_2 + n_3

De onde vem cada valor: n1n_1 = passo 3: 3 · n2n_2 = passo 3: 4 · n3n_3 = passo 3: 5

Total=3+4+5=12 pedac\cosTotal = 3 + 4 + 5 = \boxed{12\ \text{peda}ç\text{os}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar uma das tábuas, como responder 9 (só 120 e 150) ou 7 (só 90 e 120).

Resposta: 12 pedaços — alternativa E

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