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Questão de Matemática — Divisibilidade, Números Primos, Fatores Primos, Divisor e Múltiplo Comum (MMC) — VUNESP 2024

MatemáticaDivisibilidade, Números Primos, Fatores Primos, Divisor e Múltiplo Comum (MMC)
Código
vu206588
Banca
VUNESP
Órgão
Pref Peruíbe
Ano
2024
Cargo
ACS ( )
Um agente comunitário de saúde registra suas ações realizadas em dois bairros, A e B, em fichas específicas, de acordo com as orientações técnicas em vigor. Foram registradas 255 fichas para o bairro A e 165 fichas para o bairro B. Todas essas fichas devem ser organizadas em pastas, cada pasta com o mesmo número de fichas, sendo esse número o maior possível. Se cada pasta só poderá ter fichas de um mesmo bairro, a diferença entre a quantidade de pastas com fichas do bairro A e a quantidade de pastas com fichas do bairro B é
  1. A4.
  2. B5.
  3. C6.
  4. D7.
  5. E8.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 6.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 6 pastas — alternativa C.

A ideia por trás

O Máximo Divisor Comum (MDC) entre dois números é o maior número que divide ambos sem deixar resto. Ele aparece em problemas de dividir quantidades em grupos iguais do maior tamanho possível: se você tem 255 fichas de um tipo e 165 de outro, e quer pastas com o mesmo número de fichas, o maior tamanho de pasta que serve para os dois é exatamente o MDC(255, 165).

Para calcular o MDC, podemos fatorar cada número em primos e multiplicar os fatores comuns com o menor expoente. Por exemplo, 255 = 3 × 5 × 17 e 165 = 3 × 5 × 11; os fatores comuns são 3 e 5, então MDC = 3 × 5 = 15. Depois de achar o tamanho da pasta, a quantidade de pastas de cada bairro é o total de fichas dividido por esse tamanho.

Esta questão pede exatamente isso: primeiro encontrar o MDC para saber quantas fichas vão em cada pasta, depois dividir os totais por ele para obter o número de pastas de cada bairro e, por fim, subtrair esses números.

O que a questão dá

  • fichas do bairro A = 255

  • fichas do bairro B = 165

  • cada pasta deve ter o mesmo número de fichas, o maior possível

  • cada pasta só pode ter fichas de um mesmo bairro

O que queremos: a diferença entre a quantidade de pastas do bairro A e a quantidade de pastas do bairro B

Passo 1 — Calcular o MDC entre 255 e 165

O tamanho máximo de cada pasta é o maior número que divide tanto 255 quanto 165, ou seja, o MDC. Sem ele, não sabemos quantas fichas colocar em cada pasta.

Por que esta fórmula: Usamos a fatoração simultânea: dividimos os dois números pelos primos que dividem ambos, até sobrarem números sem divisor comum. O produto desses primos é o MDC.

MDC(255,165)=3×5=15MDC(255, 165) = 3 \times 5 = 15

De onde vem cada valor: 255255 = enunciado: fichas do bairro A · 165165 = enunciado: fichas do bairro B · 33 = constante: 3 é um fator primo comum, pois 255 e 165 são divisíveis por 3 (soma dos algarismos 12 e 12) · 55 = constante: 5 é um fator primo comum, pois após dividir por 3, 85 e 55 são divisíveis por 5

MDC=3×5=15 fichasporpastaMDC = 3 \times 5 = \boxed{15\ \text{fichas} \text{por} \text{pasta}}
NÃO CAIA NESSA!

Parar no 5 e esquecer o 3, achando MDC = 5 — isso daria pastas com 5 fichas, mas não é o máximo.

Passo 2 — Calcular as pastas do bairro A

Com o tamanho da pasta definido, dividimos o total de fichas do bairro A por esse tamanho para saber quantas pastas serão necessárias.

Por que esta fórmula: Se cada pasta tem 15 fichas, o número de pastas é o total dividido por 15.

PA=25515P_A = \frac{255}{15}

De onde vem cada valor: 255255 = enunciado: fichas do bairro A · 1515 = passo 1: MDC

PA=25515=17 pastasP_A = \frac{255}{15} = \boxed{17\ \text{pastas}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 165 no lugar de 255 — trocar os bairros inverte a conta.

Passo 3 — Calcular as pastas do bairro B

O mesmo raciocínio vale para o bairro B: dividimos o total de fichas dele pelo tamanho da pasta.

Por que esta fórmula: Mesma lógica do passo anterior, agora com o total do bairro B.

PB=16515P_B = \frac{165}{15}

De onde vem cada valor: 165165 = enunciado: fichas do bairro B · 1515 = passo 1: MDC

PB=16515=11 pastasP_B = \frac{165}{15} = \boxed{11\ \text{pastas}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que a divisão é exata — se sobrar resto, o MDC está errado.

Passo 4 — Subtrair as quantidades de pastas

O enunciado pede a diferença entre as quantidades de pastas, então subtraímos o número de pastas do bairro B do número de pastas do bairro A.

Por que esta fórmula: Diferença é subtração: P_A - P_B.

D=PA−PBD = P_A - P_B

De onde vem cada valor: PAP_A = passo 2: 17 · PBP_B = passo 3: 11

D=17−11=6 pastasD = 17 - 11 = \boxed{6\ \text{pastas}}
NÃO CAIA NESSA!

Responder o MDC (15) em vez da diferença — a banca coloca distratores para quem para no meio do caminho.

Resposta: 6 pastas — alternativa C

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