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Questão de Matemática — Outros Tópicos e Questões Mescladas sobre Polígonos — VUNESP 2024

MatemáticaOutros Tópicos e Questões Mescladas sobre Polígonos
Código
vu206591
Banca
VUNESP
Órgão
TJ SP
Ano
2024
Cargo
Esc ( )
A figura a seguir representa um terreno no qual será construído um depósito. Sabe-se que BCDE é um quadrado de 2 601 m2 de área e que a medida de AB é 21 metros menor do que a medida de AE. Desse modo, é correto afirmar que a área total do terreno é igual aImagem associada para resolução da questão
  1. A3 257 m2
  2. B3 141 m2
  3. C2 850 m2
  4. D3 423 m2
  5. E3 638 m2
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 3 141 m2

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a A área total é aproximadamente 3912 m², que não corresponde a nenhuma alternativa. Verifique os dados da questão..

A ideia por trás

A área de um quadrado é o produto do lado por ele mesmo, e a área de um triângulo retângulo é metade do produto dos catetos. Aqui o terreno é a soma de um quadrado com um triângulo que compartilham um lado, então precisamos das medidas dessas figuras.

No triângulo retângulo, o Teorema de Pitágoras relaciona os catetos e a hipotenusa: a² = b² + c². Se um cateto é expresso em função do outro (por exemplo, um é 21 m menor), essa relação vira uma equação que permite descobrir as medidas. A área do triângulo é (base × altura)/2.

Esta questão pede para usar a área do quadrado para achar seu lado, depois montar uma equação com a diferença entre AB e AE e o Teorema de Pitágoras, e por fim somar as áreas.

O que a questão dá

  • área do quadrado BCDE = 2601 m² (dado implícito na figura, pois é um quadrado e a área é informada no texto)

  • AB é 21 m menor que AE

  • BCDE é um quadrado

O que queremos: a área total do terreno (quadrado + triângulo)

Passo 1 — Achar o lado do quadrado

O quadrado BCDE tem área conhecida, e o lado dele é a base do triângulo ABE. Sem esse lado não dá para montar o Teorema de Pitágoras.

Por que esta fórmula: A área de um quadrado é lado ao quadrado, então o lado é a raiz quadrada da área.

l=Aquadl = \sqrt{A_{quad}}

De onde vem cada valor: AquadA_{quad} = enunciado: área do quadrado BCDE = 2601 m²

l=2601=51 ml = \sqrt{2601} = \boxed{51\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que é raiz quadrada e usar 2601 como lado.

Passo 2 — Montar a equação com Pitágoras

O triângulo ABE é retângulo em B, pois AB é perpendicular a BE (lado do quadrado). A hipotenusa é AE, e os catetos são AB e BE. Como AB = AE − 21, podemos escrever tudo em função de AE.

Por que esta fórmula: No triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos. Aqui a hipotenusa é AE, e os catetos são AB e BE.

AE2=AB2+BE2AE^{2} = AB^{2} + BE^{2}

De onde vem cada valor: AEAE = definição: incógnita x · ABAB = enunciado: AB é 21 m menor que AE, então AB = x - 21 · BEBE = passo 1: 51 m

x2=(x−21)2+512x^{2} = (x - 21)^{2} + 51^{2}
NÃO CAIA NESSA!

Trocar os catetos e a hipotenusa, usando AE como cateto.

Passo 3 — Resolver a equação para achar AE

A equação do passo 2 tem uma incógnita, x = AE. Precisamos isolá-la para conhecer a medida da hipotenusa.

Por que esta fórmula: Expandindo o quadrado e simplificando, os termos x² se cancelam, sobrando uma equação de primeiro grau.

x2=x2−42x+441+2601x^{2} = x^{2} - 42x + 441 + 2601

De onde vem cada valor: x2x^{2} = passo 2 · −42x-42x = constante: -221x · 441441 = constante: 21² · 26012601 = passo 1: 51²

0=−42x+30420 = -42x + 3042
x=72,428 ...mx = \boxed{72{,}428\ ... \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal ao cancelar x², ou esquecer de somar 441 e 2601.

Passo 4 — Calcular a área do triângulo ABE

Com AE e AB conhecidos, podemos achar a área do triângulo. Como é retângulo em B, os catetos são AB e BE.

Por que esta fórmula: A área de um triângulo retângulo é metade do produto dos catetos.

Atri=AB×BE2A_{tri} = \frac{AB \times BE}{2}

De onde vem cada valor: ABAB = passo 3: x − 21 = 51,428... m · BEBE = passo 1: 51 m

Atri=51,428×512=1311,4 m2A_{tri} = \frac{51{,}428 \times 51}{2} = \boxed{1311{,}4\ \text{m}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar AE como cateto, ou esquecer de dividir por 2.

Passo 5 — Somar as áreas do quadrado e do triângulo

O terreno é a união das duas figuras, então a área total é a soma das áreas individuais.

Por que esta fórmula: Área total = área do quadrado + área do triângulo.

Atotal=Aquad+AtriA_{total} = A_{quad} + A_{tri}

De onde vem cada valor: AquadA_{quad} = enunciado: 2601 m² · AtriA_{tri} = passo 4: 1311,4 m²

Atotal=2601+1311,4=3912,4 m2A_{total} = 2601 + 1311{,}4 = \boxed{3912{,}4\ \text{m}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Somar errado ou esquecer uma das áreas.

Resposta: A área total é aproximadamente 3912 m², que não corresponde a nenhuma alternativa. Verifique os dados da questão.

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