Questão de Matemática — Quadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc) — VUNESP 2024

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 63 m — alternativa C.

A ideia por trás

Um retângulo é uma figura de quatro lados com os lados opostos iguais e quatro ângulos retos. A área de um retângulo é a medida da superfície que ele ocupa, calculada multiplicando o comprimento pela largura. O perímetro é a soma de todos os lados, ou seja, o contorno da figura.

Se chamarmos a lateral de x, a frente será x + 7,5. A área é o produto desses dois: x · (x + 7,5) = 234. Isso gera uma equação do segundo grau, que tem duas soluções possíveis, mas apenas uma faz sentido para uma medida de comprimento (a positiva). O perímetro é 2 · (frente + lateral), pois cada lado aparece duas vezes.

Esta questão pede para montar a equação da área, resolvê-la usando a raiz fornecida e então calcular o perímetro. O passo crítico é não esquecer de multiplicar por 2 no final.

O que a questão dá

• frente = lateral + 7,5 m

• área = 234 m²

• √992,25 = 31,5

O que queremos: o perímetro do terreno retangular

Passo 1 — Montar a equação da área

Precisamos relacionar as duas dimensões do retângulo com a área dada. Como a frente é a lateral mais 7,5 m, chamamos a lateral de x e a frente de x + 7,5. A área é o produto dessas duas medidas.

Por que esta fórmula: A área de um retângulo é sempre comprimento × largura. Aqui, comprimento = frente = x + 7,5 e largura = lateral = x.

De onde vem cada valor: $x$ = definição: lateral do terreno (incógnita) · $x + 7{,}5$ = enunciado: frente = lateral + 7,5 m · $234$ = enunciado: área do terreno = 234 m²

Passo 2 — Reescrever como equação do segundo grau

A equação x·(x+7,5) = 234 ainda não está na forma padrão ax² + bx + c = 0, que é necessária para aplicar a fórmula de Bhaskara. Precisamos expandir e igualar a zero.

Por que esta fórmula: Expandindo o produto e subtraindo 234 dos dois lados, obtemos a forma padrão.

De onde vem cada valor: $x^{2}$ = passo 1: x · x · $7{,}5x$ = passo 1: x · 7,5 · $-234$ = passo 1: 234 (subtraído de ambos os lados)

Passo 3 — Calcular o discriminante

A fórmula de Bhaskara precisa do discriminante Δ = b² - 4ac para saber quantas raízes existem e para substituir na fórmula. Aqui, o enunciado já dá a raiz quadrada de Δ, então só precisamos calcular Δ.

Por que esta fórmula: Na equação ax² + bx + c = 0, o discriminante é b² - 4ac. Com a=1, b=7,5 e c=-234.

De onde vem cada valor: $b$ = passo 2: 7,5 (coeficiente de x) · $a$ = passo 2: 1 (coeficiente de x²) · $c$ = passo 2: -234 (termo independente)

Passo 4 — Aplicar a fórmula de Bhaskara

Com o discriminante calculado, podemos encontrar as raízes da equação. O enunciado fornece √992,25 = 31,5, então substituímos direto.

Por que esta fórmula: A fórmula de Bhaskara dá as raízes de uma equação do segundo grau: x = (-b ± √Δ) / (2a).

De onde vem cada valor: $b$ = passo 2: 7,5 · $\sqrt{\Delta}$ = enunciado: √992,25 = 31,5 · $a$ = passo 2: 1

x = 12 ou x = -19,5

Passo 5 — Escolher a raiz positiva e achar a frente

Medida de comprimento não pode ser negativa, então descartamos x = -19,5. A lateral é 12 m. A frente é 12 + 7,5 = 19,5 m.

Por que esta fórmula: A frente é definida como lateral + 7,5 m.

De onde vem cada valor: $x$ = passo 4: 12 m · $7{,}5$ = enunciado: frente = lateral + 7,5 m

Passo 6 — Calcular o perímetro

O perímetro é a soma de todos os lados. Como o retângulo tem dois lados iguais à frente e dois iguais à lateral, multiplicamos a soma de um par por 2.

Por que esta fórmula: Perímetro do retângulo = 2 × (frente + lateral).

De onde vem cada valor: $frente$ = passo 5: 19,5 m · $lateral$ = passo 4: 12 m

Resposta: 63 m — alternativa C