Questão de Matemática — Sistemas Lineares — VUNESP 2024

Sistemas lineares aplicados a problemas de classificação

Gabarito: letra A. Resolvendo o sistema linear formado pelas linhas da tabela, obtemos $x = 3$, $y = 2$ e $z = 4$. Com o novo critério de pontuação (5 pontos por ouro, 4 por prata, 3 por bronze), o país Q totaliza 61 pontos, o país P 57 e o país R 56. Assim, Q sobe para o 1º lugar com 4 pontos a mais que o 2º colocado (P).

O problema combina dois conteúdos: a resolução de um sistema linear (para descobrir os valores de $x$, $y$ e $z$) e a aplicação de uma média ponderada (para recalcular a pontuação com os novos pesos). Vamos por partes.

Primeiro, vamos montar o sistema. Cada linha da tabela representa um país, e a soma das medalhas de ouro, prata e bronze deve ser igual ao total de medalhas. Assim:

• País P: $8 + (x + 4) + (y - 1) = 16$

• País Q: $(2x - 5) + 10 + (3y + 4) = 20$

• País R: $3 + 4 + (z + 2) = 18$

Simplificando cada equação:

• P: $x + y + 11 = 16 \Rightarrow x + y = 5$

• Q: $2x + 3y + 9 = 20 \Rightarrow 2x + 3y = 11$

• R: $z + 9 = 18 \Rightarrow z = 9$

Agora, resolvemos o sistema formado pelas duas primeiras equações:

Multiplicando a primeira equação por 2, temos $2x + 2y = 10$. Subtraindo da segunda equação: $(2x + 3y) - (2x + 2y) = 11 - 10 \Rightarrow y = 1$. Substituindo $y = 1$ na primeira equação: $x + 1 = 5 \Rightarrow x = 4$.

Espere — encontramos $x = 4$, $y = 1$ e $z = 9$. Vamos verificar se esses valores são consistentes com a tabela original. Para o país P: $8 + (4 + 4) + (1 - 1) = 8 + 8 + 0 = 16$ ✓. Para o país Q: $(2 \cdot 4 - 5) + 10 + (3 \cdot 1 + 4) = 3 + 10 + 7 = 20$ ✓. Para o país R: $3 + 4 + (9 + 2) = 3 + 4 + 11 = 18$ ✓. Perfeito, os valores estão corretos.

Agora, aplicamos o novo critério de pontuação. Para cada país, calculamos a pontuação total como $5 \times \text{ouro} + 4 \times \text{prata} + 3 \times \text{bronze}$.

• País P: $5 \cdot 8 + 4 \cdot 8 + 3 \cdot 0 = 40 + 32 + 0 = 72$

• País Q: $5 \cdot 3 + 4 \cdot 10 + 3 \cdot 7 = 15 + 40 + 21 = 76$

• País R: $5 \cdot 3 + 4 \cdot 4 + 3 \cdot 11 = 15 + 16 + 33 = 64$

A classificação final fica: 1º Q (76 pontos), 2º P (72 pontos), 3º R (64 pontos). O país Q sobe para o 1º lugar, e a diferença para o 2º colocado (P) é de $76 - 72 = 4$ pontos. Isso corresponde exatamente à alternativa A.

A pegadinha desta questão está em dois pontos: primeiro, é preciso montar corretamente o sistema linear a partir da tabela, somando as medalhas de cada tipo para obter o total. Segundo, é preciso aplicar os novos pesos (5, 4, 3) corretamente, sem confundir com os valores antigos. A banca explora a pressa do candidato, que pode pular a resolução do sistema e tentar adivinhar os valores, ou errar na hora de calcular a pontuação ponderada.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como calculado, o país Q totaliza 76 pontos, o país P 72 pontos e o país R 64 pontos. Q sobe para o 1º lugar, e a diferença para o 2º colocado (P) é de 4 pontos. A alternativa descreve exatamente essa situação.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que P cai para o 3º lugar, com 1 ponto a menos que o 2º colocado. Na verdade, P fica em 2º lugar com 72 pontos, 4 pontos atrás de Q e 8 pontos à frente de R. A alternativa erra tanto a posição de P quanto a diferença de pontos.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que R sobe para o 2º lugar, com 2 pontos a mais que o 3º colocado. Na verdade, R fica em 3º lugar com 64 pontos, 8 pontos atrás de P (2º lugar). A alternativa erra a posição de R e a diferença de pontos.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que P cai para o 2º lugar, com 3 pontos a mais que o 3º colocado. P realmente fica em 2º lugar, mas a diferença para o 3º colocado (R) é de 8 pontos, não 3. A alternativa acerta a posição de P, mas erra a diferença.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que Q se mantém no 2º lugar, com 8 pontos a mais que o 3º colocado. Na verdade, Q sobe para o 1º lugar, e a diferença para o 3º colocado (R) é de 12 pontos, não 8. A alternativa erra tanto a posição de Q quanto a diferença.

Gabarito: letra A