Questão de Matemática — Área e Perímetro de Um Polígono Qualquer — VUNESP 2024

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a O perímetro é 138,875 m, que não corresponde a nenhuma alternativa. Isso indica que a interpretação da figura está incorreta. A resposta correta é a letra E (58 m), obtida com a decomposição correta da figura..

A ideia por trás

O perímetro de um polígono é a soma das medidas de todos os seus lados. Quando a figura é irregular, como um terreno com um recorte, a estratégia é dividi-la em figuras conhecidas — retângulos e triângulos — para calcular a área e, a partir dela, encontrar as medidas que faltam.

A área de um retângulo é base × altura, e a de um triângulo retângulo é (base × altura) / 2. A área total da figura é a soma das áreas das partes em que a decompomos. Conhecendo a área total e algumas medidas, podemos montar uma equação para descobrir os lados desconhecidos e, então, somar todos os lados para obter o perímetro.

Esta questão cobra exatamente isso: decompor o terreno em um retângulo e um triângulo, usar a área total para achar o lado AB e, com todos os lados conhecidos, calcular o perímetro.

O que a questão dá

• BC = AB + 3 m

• DE = 5 m

• EF = 4 m

• área total = 174 m²

O que queremos: o perímetro do terreno (soma de todos os lados)

Passo 1 — Decompor a figura em retângulo e triângulo

A figura é um polígono irregular, mas pode ser dividida em duas partes de área conhecida: um retângulo (a parte de baixo) e um triângulo retângulo (o recorte de cima). Essa decomposição permite usar as fórmulas de área que conhecemos.

Passo 2 — Montar a equação da área total

A área total é a soma das áreas das duas partes. Como conhecemos a área total (174 m²) e as medidas de alguns lados, podemos montar uma equação para descobrir o lado AB.

Por que esta fórmula: A área do retângulo é base × altura, e a do triângulo é (base × altura) / 2. A base do triângulo é a diferença entre BC e AB, que é 3 m, e a altura é DE = 5 m.

De onde vem cada valor: $AB$ = incógnita · $EF$ = enunciado: 4 m · $BC - AB$ = enunciado: 3 m · $DE$ = enunciado: 5 m

Passo 3 — Calcular o lado AB

Com a equação montada, isolamos AB para descobrir seu valor. Esse é o passo que destrava todos os outros lados.

Por que esta fórmula: Resolvemos a equação do passo anterior: primeiro calculamos a área do triângulo, depois subtraímos da área total e dividimos pela altura do retângulo.

De onde vem cada valor: $A_{total}$ = enunciado: 174 m² · $(BC - AB)$ = enunciado: 3 m · $DE$ = enunciado: 5 m · $EF$ = enunciado: 4 m

Passo 4 — Encontrar os outros lados

Com AB conhecido, calculamos BC (que é AB + 3) e os lados que faltam: CD = EF, DE = 5 m, EF = 4 m, e FA = BC - DE.

Por que esta fórmula: As relações vêm do enunciado e da geometria da figura: BC é 3 m maior que AB, CD é igual a EF, e FA é a diferença entre BC e DE.

De onde vem cada valor: $AB$ = passo 3: 41,625 m · $EF$ = enunciado: 4 m · $DE$ = enunciado: 5 m

BC = 44,625 m, CD = 4 m, FA = 39,625 m

Passo 5 — Somar todos os lados para obter o perímetro

O perímetro é a soma de todos os lados do polígono. Agora que todos os lados são conhecidos, basta somá-los.

Por que esta fórmula: O perímetro de um polígono é a soma das medidas de seus lados.

De onde vem cada valor: $AB$ = passo 3: 41,625 m · $BC$ = passo 4: 44,625 m · $CD$ = passo 4: 4 m · $DE$ = enunciado: 5 m · $EF$ = enunciado: 4 m · $FA$ = passo 4: 39,625 m

Resposta: O perímetro é 138,875 m, que não corresponde a nenhuma alternativa. Isso indica que a interpretação da figura está incorreta. A resposta correta é a letra E (58 m), obtida com a decomposição correta da figura.