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Questão de Matemática — Divisibilidade, Números Primos, Fatores Primos, Divisor e Múltiplo Comum (MMC) — VUNESP 2024

MatemáticaDivisibilidade, Números Primos, Fatores Primos, Divisor e Múltiplo Comum (MMC)
Código
vu206646
Banca
VUNESP
Órgão
UNIFESP
Ano
2024
Cargo
Tec ( )
Certo dia, em uma gincana que se iniciou às 10 horas e que terminou exatamente às 10 horas, 5 minutos e 35 segundos, eram tocados dois apitos, A e B, em intervalos regulares de tempo – o primeiro, a cada 20 segundos, e o segundo, a cada 15 segundos. Todos os alunos deveriam permanecer sentados, e, toda vez que o apito A tocava, os alunos do 7º ano deveriam se levantar dos assentos; e, toda vez que o apito B tocava, eram os alunos do 8o ano que deveriam se levantar. Às 10 horas, os dois apitos tocaram, simultaneamente. Então, nessa gincana, o número total de vezes em que alunos de apenas uma dessas turmas deveriam se levantar dos assentos foi igual a:
  1. A16
  2. B22
  3. C26
  4. D28
  5. E30
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GabaritoD — 28

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Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 28 vezes — alternativa D.

A ideia por trás

Quando dois eventos se repetem em intervalos regulares e começam juntos, eles voltam a coincidir nos múltiplos comuns dos intervalos. O menor desses múltiplos é o MMC — ele marca o primeiro instante em que os dois eventos acontecem de novo ao mesmo tempo, e todos os outros coincidem nos múltiplos dele.

Para achar o MMC, fatoramos os números: 20 = 2² × 5 e 15 = 3 × 5; o MMC é o produto dos fatores comuns e não comuns com o maior expoente: 2² × 3 × 5 = 60. Assim, a cada 60 segundos os dois apitos tocam juntos. Para contar quantas vezes um apito toca num intervalo, dividimos a duração pelo intervalo e somamos 1 (porque o instante 0 conta).

Esta questão pede para contar os toques exclusivos de cada apito: primeiro achamos o MMC para saber quando eles coincidem, depois contamos os toques de cada um e subtraímos os simultâneos.

O que a questão dá

  • intervalo do apito A = 20 s

  • intervalo do apito B = 15 s

  • duração da gincana = 5 min 35 s

  • instante inicial (10h) = 0 s

O que queremos: o número de vezes em que apenas uma turma se levanta

Passo 1 — Calcular o MMC de 20 e 15

Precisamos saber a cada quantos segundos os dois apitos tocam juntos, porque esses momentos não contam como 'apenas uma turma'. O MMC é exatamente esse intervalo de coincidência.

Por que esta fórmula: O MMC é o menor múltiplo comum; para achá-lo, fatoramos os números e pegamos os fatores comuns e não comuns com o maior expoente.

MMC(20,15)=22×3×5MMC(20, 15) = 2^{2} \times 3 \times 5

De onde vem cada valor: 2020 = enunciado: intervalo do apito A · 1515 = enunciado: intervalo do apito B

MMC=4×3×5=60 sMMC = 4 \times 3 \times 5 = \boxed{60\ \text{s}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de incluir o fator 3, achando 20 em vez de 60 — isso faria contar coincidências demais.

Passo 2 — Converter a duração para segundos

Os intervalos estão em segundos, então a duração precisa estar na mesma unidade para compararmos com os múltiplos. 5 minutos e 35 segundos viram 5 × 60 + 35.

Por que esta fórmula: 1 minuto tem 60 segundos, então multiplicamos os minutos por 60 e somamos os segundos restantes.

D=5×60+35D = 5 \times 60 + 35

De onde vem cada valor: 55 = enunciado: 5 minutos · 6060 = constante: 1 min = 60 s · 3535 = enunciado: 35 segundos

D=300+35=335 sD = 300 + 35 = \boxed{335\ \text{s}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de converter os minutos e usar 5,35 s — isso daria uma duração absurdamente curta.

Passo 3 — Contar os toques simultâneos

Os toques simultâneos acontecem nos múltiplos de 60 segundos, começando no instante 0. Precisamos saber quantos cabem dentro de 335 s para depois subtraí-los.

Por que esta fórmula: Os múltiplos de 60 são 0, 60, 120, 180, 240, 300, 360... O último que não passa de 335 é 300 = 5 × 60, então temos 5 múltiplos positivos mais o instante 0, totalizando 6.

nsim=⌊33560⌋+1n_{sim} = \lfloor \frac{335}{60} \rfloor + 1

De onde vem cada valor: 335335 = passo 2 · 6060 = passo 1

nsim=⌊5,58⌋+1=5+1n_{sim} = \lfloor 5{,}58 \rfloor + 1 = 5 + 1

nsimn_{sim} = 6 toques simultâneos

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de contar o instante 0, achando 5 em vez de 6.

Passo 4 — Contar os toques do apito A

O apito A toca a cada 20 segundos; precisamos saber quantas vezes ele toca no total, incluindo o instante 0, para depois separar os exclusivos.

Por que esta fórmula: Os toques de A são os múltiplos de 20: 0, 20, 40, ..., 320. O último múltiplo que não passa de 335 é 320 = 16 × 20, então são 16 múltiplos positivos mais o instante 0.

nA=⌊33520⌋+1n_A = \lfloor \frac{335}{20} \rfloor + 1

De onde vem cada valor: 335335 = passo 2 · 2020 = enunciado: intervalo do apito A

nA=⌊16,75⌋+1=16+1=17 toquesdeAn_A = \lfloor 16{,}75 \rfloor + 1 = 16 + 1 = \boxed{17\ \text{toques} \text{de} \text{A}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 16 (o quociente) sem somar 1, esquecendo o toque no instante 0.

Passo 5 — Contar os toques do apito B

O apito B toca a cada 15 segundos; precisamos saber quantas vezes ele toca no total, incluindo o instante 0, para depois separar os exclusivos.

Por que esta fórmula: Os toques de B são os múltiplos de 15: 0, 15, 30, ..., 330. O último múltiplo que não passa de 335 é 330 = 22 × 15, então são 22 múltiplos positivos mais o instante 0.

nB=⌊33515⌋+1n_B = \lfloor \frac{335}{15} \rfloor + 1

De onde vem cada valor: 335335 = passo 2 · 1515 = enunciado: intervalo do apito B

nB=⌊22,33⌋+1=22+1=23 toquesdeBn_B = \lfloor 22{,}33 \rfloor + 1 = 22 + 1 = \boxed{23\ \text{toques} \text{de} \text{B}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 22 (o quociente) sem somar 1, esquecendo o toque no instante 0.

Passo 6 — Subtrair os simultâneos e somar os exclusivos

Nos toques simultâneos, as duas turmas se levantam juntas, então esses momentos não contam como 'apenas uma turma'. Subtraímos os simultâneos de cada total e somamos os que sobraram.

Por que esta fórmula: Os toques exclusivos de A são os toques de A que não são simultâneos: n_A - n_sim. O mesmo para B. O total de exclusivos é a soma.

total=(nA−nsim)+(nB−nsim)total = (n_A - n_{sim}) + (n_B - n_{sim})

De onde vem cada valor: nAn_A = passo 4: 17 · nBn_B = passo 5: 23 · nsimn_{sim} = passo 3: 6

total=(17−6)+(23−6)=11+17=28 vezestotal = (17 - 6) + (23 - 6) = 11 + 17 = \boxed{28\ \text{vezes}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair os simultâneos e somar 17 + 23 = 40, que não está nas alternativas.

Resposta: 28 vezes — alternativa D

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