Matemática · VUNESP · 2024 | Questão sqc-vu206647

Área e porcentagem em polígonos

Gabarito: letra C — a área do quadrado CDHI corresponde a aproximadamente 45,45% da área total do terreno, valor que se situa entre 44% e 46%. A resolução exige decompor o polígono em figuras conhecidas (retângulos e quadrado), montar uma equação a partir da área total de 220 m² e, ao final, calcular a razão percentual entre a área do quadrado e a área total.

A ideia por trás

O problema apresenta um terreno com formato irregular, mas que pode ser dividido em figuras geométricas simples: retângulos e um quadrado. A estratégia central é decompor a área total em partes cujas dimensões conhecemos ou podemos expressar em função de uma incógnita. Como o polígono CDHI é um quadrado, seus quatro lados são iguais; chamemos esse lado de $x$ . Assim, a área desse quadrado será $x^2$ .

Observando a figura, percebemos que o terreno é formado por três retângulos justapostos: um retângulo à esquerda (com base AB = 4 m e altura BC), um retângulo central (que contém o quadrado CDHI) e um retângulo à direita (com base EF = 4 m e altura FG). A altura total do terreno é a soma das alturas desses retângulos, que são iguais entre si, pois todos compartilham a mesma base horizontal.

Vamos definir as medidas:

AB = EF = 4 m (bases dos retângulos laterais).
CD = x (lado do quadrado, que também é a altura do retângulo central).
FG = CD + 5 = x + 5 (altura do retângulo à direita).
BC = ? (altura do retângulo à esquerda).

A altura total do terreno é a soma das alturas dos três retângulos: $BC + x + (x + 5)$ . Como os retângulos laterais têm a mesma base (4 m), suas alturas devem ser iguais para que o terreno seja um retângulo maior. Portanto, $BC = FG = x + 5$ . Assim, a altura total é $(x + 5) + x + (x + 5) = 3x + 10$ .

A área total do terreno é a soma das áreas dos três retângulos:

Área do retângulo esquerdo: $4 \times (x + 5)$
Área do retângulo central: $x \times x = x^2$
Área do retângulo direito: $4 \times (x + 5)$

Somando: $4(x + 5) + x^2 + 4(x + 5) = x^2 + 8(x + 5) = x^2 + 8x + 40$ .

Sabemos que a área total é 220 m², então:

x^2 + 8x + 40 = 220

x^2 + 8x - 180 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau:

x = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 720}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{784}}{2} = \frac{-8 \pm 28}{2}

As raízes são $x = 10$ e $x = -18$ . Como medida de comprimento, $x = 10$ m.

Portanto, a área do quadrado CDHI é $10^2 = 100$ m².

A porcentagem que essa área representa da área total é:

\frac{100}{220} \times 100\% = \frac{10000}{220}\% = 45,45\%

Esse valor está entre 44% e 46%, o que corresponde à alternativa C.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que o percentual está entre 40% e 42%. Isso ocorreria se a área do quadrado fosse menor, por exemplo, se $x = 9$ (área 81 m², que daria 36,8%) ou se a área total fosse maior. O erro está em não resolver corretamente a equação ou em considerar uma relação incorreta entre as dimensões. O valor correto é 45,45%, bem acima desse intervalo.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que o percentual está entre 42% e 44%. Isso corresponderia a uma área do quadrado entre 92,4 m² e 96,8 m², ou seja, um lado entre aproximadamente 9,6 m e 9,84 m. O erro está em subestimar o lado do quadrado, provavelmente por um erro na montagem da equação da área total. Com $x = 10$ m, a área é 100 m², resultando em 45,45%.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A área do quadrado CDHI é 100 m², e a área total é 220 m². A porcentagem é $\frac{100}{220} \times 100\% = 45,45\%$ , que está entre 44% e 46%. A alternativa está correta porque reflete o cálculo exato a partir das condições do enunciado.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que o percentual está entre 46% e 48%. Isso corresponderia a uma área do quadrado entre 101,2 m² e 105,6 m², ou seja, um lado entre aproximadamente 10,06 m e 10,28 m. O erro está em superestimar o lado do quadrado, talvez por considerar $FG = x + 5$ de forma incorreta ou por errar na resolução da equação. O valor correto é 45,45%.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que o percentual está entre 48% e 50%. Isso corresponderia a uma área do quadrado entre 105,6 m² e 110 m², ou seja, um lado entre aproximadamente 10,28 m e 10,49 m. O erro está em superestimar ainda mais o lado do quadrado, provavelmente por um erro na soma das áreas ou na resolução da equação. O valor correto é 45,45%.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre a área do quadrado e a área total. O candidato pode calcular corretamente a área do quadrado (100 m²) mas errar na porcentagem, ou pode errar na montagem da equação da área total, obtendo um lado diferente. A dica é sempre verificar se a soma das áreas parciais bate com a área total fornecida.

PEGA ESSA DICA!

Para resolver problemas de área com polígonos irregulares, decomponha a figura em retângulos e quadrados, expresse todas as dimensões em função de uma incógnita, monte a equação da área total e resolva. Depois, calcule a porcentagem pedida. Pratique com questões similares para ganhar agilidade.

Gabarito: letra C