Questão de Matemática — Frações e Dízimas Periódicas — VUNESP 2024

Frações de um valor: gastos sucessivos

Gabarito: letra E — a diferença entre o que restou com Arnaldo e o que restou com Mauro é $\dfrac{7x}{64}$. A resolução exige aplicar frações sucessivas sobre o valor restante (e não sobre o valor inicial), calculando o que sobrou após cada gasto para cada um, e então subtrair os resultados.

A ideia por trás

O problema trabalha com o conceito de fração de um valor e, principalmente, de fração do que sobrou. A pegadinha central está em interpretar corretamente cada etapa: quando se gasta uma fração do que sobrou, o novo restante é calculado multiplicando o valor anterior pela fração complementar (o que não foi gasto).

Vamos calcular separadamente para Mauro e Arnaldo.

Mauro:

1. Gastou metade de $X$: sobrou $X - \dfrac{X}{2} = \dfrac{X}{2}$.

2. Gastou a quarta parte do que sobrou ($\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{X}{2} = \dfrac{X}{8}$): sobrou $\dfrac{X}{2} - \dfrac{X}{8} = \dfrac{3X}{8}$.

3. Gastou a oitava parte do que sobrou ($\dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{3X}{8} = \dfrac{3X}{64}$): sobrou $\dfrac{3X}{8} - \dfrac{3X}{64} = \dfrac{24X}{64} - \dfrac{3X}{64} = \dfrac{21X}{64}$.

Arnaldo:

1. Gastou a quarta parte de $X$: sobrou $X - \dfrac{X}{4} = \dfrac{3X}{4}$.

2. Gastou a quarta parte do que sobrou ($\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{3X}{4} = \dfrac{3X}{16}$): sobrou $\dfrac{3X}{4} - \dfrac{3X}{16} = \dfrac{12X}{16} - \dfrac{3X}{16} = \dfrac{9X}{16}$.

3. Gastou a quarta parte do que sobrou ($\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{9X}{16} = \dfrac{9X}{64}$): sobrou $\dfrac{9X}{16} - \dfrac{9X}{64} = \dfrac{36X}{64} - \dfrac{9X}{64} = \dfrac{27X}{64}$.

A diferença pedida é o que restou com Arnaldo menos o que restou com Mauro:

Perceba que $\dfrac{6X}{64}$ simplifica para $\dfrac{3X}{32}$, que não aparece nas alternativas. Isso indica que a banca considerou a diferença em valor absoluto, ou seja, o maior menos o menor, que é exatamente o que calculamos. Mas o gabarito é $\dfrac{7X}{64}$. Vamos verificar se há outra interpretação.

Reavaliando a interpretação

Talvez a banca tenha considerado que a diferença é entre o que restou com Mauro e o que restou com Arnaldo (Mauro − Arnaldo), o que daria $\dfrac{21X}{64} - \dfrac{27X}{64} = -\dfrac{6X}{64} = -\dfrac{3X}{32}$, um valor negativo, o que não faz sentido para uma diferença de valores.

Outra possibilidade: a banca pode ter calculado os gastos de forma diferente, talvez aplicando as frações sobre o valor inicial em cada etapa, em vez de sobre o que sobrou. Vamos testar essa hipótese.

Mauro (gastos sobre o valor inicial):

1. Gastou $\dfrac{X}{2}$: sobrou $\dfrac{X}{2}$.

2. Gastou $\dfrac{X}{4}$: sobrou $\dfrac{X}{2} - \dfrac{X}{4} = \dfrac{X}{4}$.

3. Gastou $\dfrac{X}{8}$: sobrou $\dfrac{X}{4} - \dfrac{X}{8} = \dfrac{X}{8}$.

Arnaldo (gastos sobre o valor inicial):

1. Gastou $\dfrac{X}{4}$: sobrou $\dfrac{3X}{4}$.

2. Gastou $\dfrac{X}{4}$: sobrou $\dfrac{3X}{4} - \dfrac{X}{4} = \dfrac{X}{2}$.

3. Gastou $\dfrac{X}{4}$: sobrou $\dfrac{X}{2} - \dfrac{X}{4} = \dfrac{X}{4}$.

Diferença: $\dfrac{X}{4} - \dfrac{X}{8} = \dfrac{X}{8}$, que também não corresponde a nenhuma alternativa.

A interpretação correta

A diferença entre o que restou com Arnaldo e o que restou com Mauro, calculada corretamente, é $\dfrac{3X}{32}$. No entanto, o gabarito oficial é $\dfrac{7X}{64}$. Isso sugere que a banca pode ter considerado a diferença entre os gastos totais de cada um, ou talvez tenha havido um erro na elaboração da questão. Vamos analisar os gastos totais.

Gasto total de Mauro: $X - \dfrac{21X}{64} = \dfrac{43X}{64}$.

Gasto total de Arnaldo: $X - \dfrac{27X}{64} = \dfrac{37X}{64}$.

Diferença entre os gastos: $\dfrac{43X}{64} - \dfrac{37X}{64} = \dfrac{6X}{64} = \dfrac{3X}{32}$, novamente o mesmo valor.

Nenhuma das interpretações razoáveis produz $\dfrac{7X}{64}$. Vamos verificar se há um erro de cálculo na nossa resolução.

Recalculando Mauro:

• Após 1º gasto: $X - \dfrac{X}{2} = \dfrac{X}{2}$.

• Após 2º gasto: $\dfrac{X}{2} - \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{X}{2} = \dfrac{X}{2} - \dfrac{X}{8} = \dfrac{3X}{8}$.

• Após 3º gasto: $\dfrac{3X}{8} - \dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{3X}{8} = \dfrac{3X}{8} - \dfrac{3X}{64} = \dfrac{24X}{64} - \dfrac{3X}{64} = \dfrac{21X}{64}$. ✅

Recalculando Arnaldo:

• Após 1º gasto: $X - \dfrac{X}{4} = \dfrac{3X}{4}$.

• Após 2º gasto: $\dfrac{3X}{4} - \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{3X}{4} = \dfrac{3X}{4} - \dfrac{3X}{16} = \dfrac{12X}{16} - \dfrac{3X}{16} = \dfrac{9X}{16}$.

• Após 3º gasto: $\dfrac{9X}{16} - \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{9X}{16} = \dfrac{9X}{16} - \dfrac{9X}{64} = \dfrac{36X}{64} - \dfrac{9X}{64} = \dfrac{27X}{64}$. ✅

Diferença: $\dfrac{27X}{64} - \dfrac{21X}{64} = \dfrac{6X}{64} = \dfrac{3X}{32}$.

A alternativa D é $\dfrac{3X}{32}$, que é exatamente o resultado correto. No entanto, o gabarito oficial aponta a letra E ($\dfrac{7X}{64}$). Isso indica uma possível divergência entre o gabarito e a resolução matemática correta.

Análise das alternativas

Alternativa A — ❌ Incorreta

$\dfrac{3X}{64}$ corresponde ao valor que Mauro gastou na terceira etapa ($\dfrac{1}{8}$ do que sobrou após o segundo gasto). Não é a diferença entre os restos finais.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$\dfrac{X}{16}$ não corresponde a nenhum valor relevante do problema. Poderia ser o resultado de um cálculo incorreto, como considerar que cada um gastou frações que resultariam nesse valor.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$\dfrac{5X}{64}$ também não corresponde a nenhum valor direto do problema. Pode ser um distrator calculado a partir de uma interpretação equivocada das frações.

Alternativa D — ✅ Correta (matematicamente)

$\dfrac{3X}{32}$ é exatamente a diferença entre o que restou com Arnaldo ($\dfrac{27X}{64}$) e o que restou com Mauro ($\dfrac{21X}{64}$). Este é o resultado correto da resolução.

Alternativa E — ❌ Incorreta (gabarito oficial)

$\dfrac{7X}{64}$ não é o resultado da diferença entre os restos. Pode ter sido obtido por um erro de cálculo, como subtrair $\dfrac{21X}{64}$ de $\dfrac{28X}{64}$ (que seria o resto de Arnaldo se ele tivesse gasto frações diferentes), ou por uma soma incorreta de frações.

Conclusão

A resolução matemática correta aponta para a letra D ($\dfrac{3X}{32}$), mas o gabarito oficial é a letra E ($\dfrac{7X}{64}$). Há uma divergência entre o gabarito e o cálculo. É possível que a banca tenha considerado uma interpretação diferente do enunciado, como aplicar as frações sobre o valor inicial em cada etapa, mas mesmo assim não se chega a $\dfrac{7X}{64}$. Recomenda-se verificar o gabarito oficial da prova, pois a resolução apresentada aqui segue rigorosamente o enunciado.

Gabarito oficial: letra E (com ressalva: o cálculo correto resulta em $\dfrac{3X}{32}$, letra D).