Questão de Matemática — Equações de Primeiro Grau — VUNESP 2024

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 21 anos — alternativa A.

A ideia por trás

Problemas de idades com razões pedem que você transforme frases em equações. A razão entre duas idades é uma fração que compara uma com a outra; quando o tempo passa, as duas idades aumentam na mesma quantidade, então a razão muda. A soma das idades é simplesmente a adição das duas.

A razão H/P = 2/5 significa que, para cada 5 anos do pai, o homem tem 2. Daqui a X anos, as idades viram H+X e P+X, e a nova razão é 2/3. A soma futura é (H+X)+(P+X) = H+P+2X = 105. Essas três equações formam um sistema com três incógnitas: H, P e X. A chave é isolar uma variável e substituir nas outras.

Esta questão cobra a montagem e resolução de um sistema linear a partir de razões e soma futura. O passo crítico é perceber que a soma de 105 é no futuro, não hoje, e que a razão futura envolve as idades acrescidas de X.

O que a questão dá

• razão entre as idades hoje: H/P = 2/5

• razão entre as idades daqui a X anos: (H+X)/(P+X) = 2/3

• soma das idades daqui a X anos: (H+X)+(P+X) = 105 anos

O que queremos: a diferença entre as idades hoje (P - H)

Passo 1 — Escrever a razão de hoje como equação

A primeira informação é a razão atual entre as idades. Uma razão é uma fração que compara duas quantidades; aqui, H/P = 2/5. Para usar essa relação nas contas, é melhor isolar uma das variáveis.

Por que esta fórmula: Multiplicando ambos os lados por P, obtemos H = (2/5)P. Isso permite substituir H em outras equações.

De onde vem cada valor: $H$ = definição: idade atual do homem (incógnita) · $P$ = definição: idade atual do pai (incógnita)

Passo 2 — Escrever a razão futura como equação

Daqui a X anos, as idades aumentam em X, então a razão vira (H+X)/(P+X) = 2/3. Precisamos dessa equação para relacionar X com H e P.

Por que esta fórmula: Multiplicando cruzado: 3(H+X) = 2(P+X). Isso elimina as frações e facilita a manipulação.

De onde vem cada valor: $H$ = passo 1 · $P$ = passo 1 · $X$ = definição: tempo futuro (incógnita)

Passo 3 — Isolar X na equação da razão futura

A equação do passo 2 tem três incógnitas; precisamos expressar X em função de H e P para substituir na soma futura.

Por que esta fórmula: Expandindo: 3H + 3X = 2P + 2X. Subtraindo 2X e 3H dos dois lados, obtemos X = 2P - 3H.

De onde vem cada valor: $H$ = passo 1 · $P$ = passo 1

Passo 4 — Substituir H na expressão de X

Agora temos H em função de P (passo 1) e X em função de H e P (passo 3). Substituir H na expressão de X deixa X só em função de P.

Por que esta fórmula: Colocando H = (2/5)P em X = 2P - 3H, temos X = 2P - 3*(2/5)P = 2P - (6/5)P = (4/5)P.

De onde vem cada valor: $P$ = passo 1

Passo 5 — Montar a equação da soma futura

A terceira informação é a soma das idades daqui a X anos: (H+X)+(P+X) = 105. Essa equação envolve H, P e X, mas já temos H e X em função de P, então sobra só P.

Por que esta fórmula: A soma futura é H+X + P+X = H+P+2X. Substituindo H = (2/5)P e X = (4/5)P, obtemos uma equação só com P.

De onde vem cada valor: $H$ = passo 1 · $P$ = passo 1 · $X$ = passo 4

Passo 6 — Resolver a equação para achar a idade do pai

Com a equação do passo 5, podemos somar as frações e isolar P, encontrando a idade atual do pai.

Por que esta fórmula: Somando os termos: (2/5)P + (5/5)P + (8/5)P = (15/5)P = 3P. Então 3P = 105, logo P = 35.

De onde vem cada valor: $P$ = passo 5

Passo 7 — Calcular a idade do homem hoje

Com a idade do pai conhecida, usamos a razão inicial para achar a idade do homem.

Por que esta fórmula: Da razão H/P = 2/5, temos H = (2/5)P. Substituindo P = 35, obtemos H = (2/5)*35 = 14.

De onde vem cada valor: $P$ = passo 6

Passo 8 — Calcular a diferença de idades hoje

A pergunta final é a diferença entre as idades atuais. Com P e H conhecidos, basta subtrair.

Por que esta fórmula: A diferença é P - H, pois o pai é mais velho. Substituindo os valores, temos 35 - 14 = 21.

De onde vem cada valor: $P$ = passo 6 · $H$ = passo 7

Resposta: 21 anos — alternativa A