Questão de Matemática — Divisibilidade, Números Primos, Fatores Primos, Divisor e Múltiplo Comum (MMC) — VUNESP 2024

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 36 — alternativa D.

A ideia por trás

A divisão euclidiana é o algoritmo que reparte um número inteiro em grupos de tamanho fixo e sobra algo menor que o grupo. Para números positivos, é a divisão comum: 17 dividido por 5 dá quociente 3 e resto 2, porque 3 grupos de 5 usam 15 e sobram 2. A regra que vale para qualquer inteiro é: a = b·q + r, com o resto sempre não negativo e menor que o valor absoluto do divisor (0 ≤ r < |b|).

A relação a = b·q + r é a definição formal: o quociente q diz quantos grupos completos de tamanho b cabem em a, e o resto r é o que sobra, sempre entre 0 e |b|-1. Quando os números são negativos, a divisão 'intuitiva' da calculadora trunca o quociente em direção a zero, o que pode gerar resto negativo — e isso viola a condição. Por isso, o quociente deve ser ajustado para baixo até o resto ficar no intervalo correto.

Esta questão cobra exatamente esse ajuste: com dividendo e divisor negativos, o quociente 'direto' não serve, e é preciso encontrar o maior múltiplo do divisor que seja menor ou igual ao dividendo, garantindo resto não negativo.

O que a questão dá

• dividendo a = -264 (da expressão '–264 por –9')

• divisor b = -9 (da expressão '–264 por –9')

• condição do resto: 0 ≤ r < |b|

O que queremos: a soma do quociente com o resto na divisão euclidiana de -264 por -9

Passo 1 — Calcular o módulo do divisor

A condição do resto usa o valor absoluto do divisor: 0 ≤ r < |b|. Precisamos saber esse limite antes de procurar o resto.

Por que esta fórmula: O módulo de um número é a distância até zero, sempre positivo. Para -9, é 9.

De onde vem cada valor: $b$ = enunciado: divisor = -9 (da expressão '–264 por –9')

Passo 2 — Encontrar o maior múltiplo de -9 menor ou igual a -264

Na divisão euclidiana, o quociente é o número de grupos completos que cabem sem ultrapassar o dividendo. Para achar q, procuramos o maior múltiplo de b que seja menor ou igual a a.

Por que esta fórmula: Os múltiplos de -9 são -9, -18, -27, ... e também os negativos: -270, -261, -252, ... O maior deles que ainda é menor ou igual a -264 é -270, porque -261 já é maior que -264.

De onde vem cada valor: $b$ = enunciado: divisor = -9 (da expressão '–264 por –9') · $a$ = enunciado: dividendo = -264 (da expressão '–264 por –9') · $q$ = constante: 30 (pois -9·30 = -270 é o maior múltiplo ≤ -264)

Passo 3 — Calcular o resto com esse quociente

Com o quociente escolhido, o resto é o que falta para completar o dividendo: r = a - b·q. Precisamos conferir se ele está no intervalo permitido.

Por que esta fórmula: Da definição a = b·q + r, isolamos r = a - b·q.

De onde vem cada valor: $a$ = enunciado: dividendo = -264 (da expressão '–264 por –9') · $b$ = enunciado: divisor = -9 (da expressão '–264 por –9') · $q$ = passo 2: 30

Passo 4 — Somar quociente e resto

A questão pede a soma, então basta somar os dois valores encontrados.

Por que esta fórmula: Soma direta: q + r.

De onde vem cada valor: $q$ = passo 2: 30 · $r$ = passo 3: 6

Resposta: 36 — alternativa D