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Questão de Matemática — Funções reais de variável real (cálculo diferencial e integral) — VUNESP 2024

MatemáticaFunções reais de variável real (cálculo diferencial e integral)
Código
vu206662
Banca
VUNESP
Órgão
EsFCEx
Ano
2024
Cargo
CFO/QC ( )
Na função f: \mathbb{R}^* →\rightarrow \mathbb{R} dada por y = f(x) = ex+5−π−x2+ex\frac{e^{x+5} - \pi}{-x^2 + ex}, o limite L para x →\rightarrow +∞\infty é
  1. A-1
  2. B1
  3. C0
  4. D+∞+\infty
  5. E−∞-\infty
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — -\infty

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a L = -∞ — alternativa E.

A ideia por trás

O limite no infinito descreve o que acontece com o valor de uma função quando a variável x cresce sem parar. Para funções racionais (quociente de funções), o resultado depende de qual parte cresce mais rápido: o numerador ou o denominador. Aqui, comparamos uma exponencial com um polinômio.

A função exponencial e^{x+5} cresce muito mais rápido do que qualquer polinômio, como -x^2 + ex. Isso significa que, para x muito grande, o numerador domina o denominador. O sinal do resultado é dado pelo sinal do denominador, que tende a -∞, então o quociente tende a -∞.

Esta questão cobra a comparação de crescimento entre exponencial e polinômio. A chave é reconhecer que a exponencial vence, e o sinal negativo do denominador define o resultado.

O que a questão dá

  • função: f(x) = (e^{x+5} - π) / (-x^2 + ex)

  • domínio: x ∈ R*

  • x tende a +∞

O que queremos: o limite L da função quando x tende a +∞

Passo 1 — Analisar o numerador quando x cresce

Precisamos saber para onde vai cada parte da fração. O numerador é e^{x+5} - π. Como e^{x+5} = e^5 · e^x, e e^x tende a +∞, o numerador tende a +∞. Subtrair π (uma constante) não muda isso.

Por que esta fórmula: Não há fórmula específica; é uma análise de comportamento. A exponencial cresce sem limite.

numerador→+∞\boxed{\text{numerador} → +∞}
NÃO CAIA NESSA!

Achar que subtrair π muda o limite — π é constante e não afeta o crescimento.

Passo 2 — Analisar o denominador quando x cresce

O denominador é -x^2 + ex. Para x grande, o termo -x^2 domina, pois é de grau 2, enquanto ex é de grau 1. Portanto, o denominador tende a -∞.

Por que esta fórmula: Em polinômios, o termo de maior grau domina. Aqui, -x^2 é o termo dominante.

denominador→−∞\boxed{\text{denominador} → -∞}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o sinal negativo de -x^2 e achar que o denominador tende a +∞.

Passo 3 — Comparar os crescimentos e decidir o limite

Temos uma indeterminação do tipo +∞ / -∞. Para resolvê-la, comparamos a velocidade de crescimento. A exponencial cresce mais rápido que qualquer polinômio, então o numerador domina. O quociente tende a -∞, pois positivo dividido por negativo dá negativo.

Por que esta fórmula: Não é uma fórmula, é a hierarquia de crescimento: exponencial > polinômio. Isso é um fato fundamental de limites.

limite=−∞limite = \boxed{-∞}
NÃO CAIA NESSA!

Tentar dividir tudo por x^2, técnica que funciona para polinômios, mas não para exponenciais.

Resposta: L = -∞ — alternativa E

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