Questão de Matemática — Área do Círculo, do Setor Circular e do Segmento Circular — VUNESP 2024

Área do círculo a partir do perímetro

Gabarito: letra B. O perímetro de 157 m é o comprimento da circunferência ($C = 2\pi r$); isolando o raio obtemos $r \approx 25$ m e, aplicando a fórmula da área do círculo ($A = \pi r^2$), chegamos a $A \approx 1.962,5$ m², que está entre 1.900 m² e 2.100 m² — exatamente o intervalo da alternativa B.

A ideia por trás

A questão envolve duas fórmulas básicas da geometria plana: o comprimento da circunferência e a área do círculo. O comprimento da circunferência é dado por $C = 2\pi r$, onde $r$ é o raio. A área do círculo é dada por $A = \pi r^2$. O enunciado fornece o perímetro (que é o comprimento da circunferência) e pede a área da região isolada, que é a área do círculo. O caminho é: primeiro, usar o perímetro para encontrar o raio; depois, usar o raio para calcular a área.

O valor de $\pi$ é aproximadamente 3,14. Como o perímetro foi dado como "aproximadamente 157 m", a banca espera que usemos essa aproximação. Vamos calcular:

1. Encontrar o raio:

   $C = 2\pi r \Rightarrow 157 = 2 \times 3,14 \times r \Rightarrow 157 = 6,28r \Rightarrow r = \frac{157}{6,28} = 25 \text{ m}$

1. Calcular a área:

   $A = \pi r^2 = 3,14 \times 25^2 = 3,14 \times 625 = 1.962,5 \text{ m}^2$

O resultado, 1.962,5 m², está entre 1.900 m² e 2.100 m², portanto a alternativa correta é a B.

Por que as outras alternativas estão erradas

As demais alternativas apresentam intervalos que não contêm o valor calculado. Vamos analisar cada uma:

• A) 1.300 m² e 1.500 m²: Esse intervalo corresponde a um raio menor, aproximadamente entre 20,3 m e 21,8 m. Se o raio fosse 20 m, a área seria $3,14 \times 400 = 1.256$ m², e o perímetro seria $2 \times 3,14 \times 20 = 125,6$ m, bem menor que 157 m.

• C) 1.500 m² e 1.700 m²: Esse intervalo corresponde a um raio entre aproximadamente 21,8 m e 23,3 m. Por exemplo, com raio 22 m, a área seria $3,14 \times 484 = 1.519,76$ m², e o perímetro seria $2 \times 3,14 \times 22 = 138,16$ m, ainda menor que 157 m.

• D) 1.700 m² e 1.900 m²: Esse intervalo corresponde a um raio entre aproximadamente 23,3 m e 24,6 m. Com raio 24 m, a área seria $3,14 \times 576 = 1.808,64$ m², e o perímetro seria $2 \times 3,14 \times 24 = 150,72$ m, próximo, mas ainda menor que 157 m.

• E) 2.100 m² e 2.300 m²: Esse intervalo corresponde a um raio entre aproximadamente 25,9 m e 27,1 m. Com raio 26 m, a área seria $3,14 \times 676 = 2.122,64$ m², e o perímetro seria $2 \times 3,14 \times 26 = 163,28$ m, maior que 157 m.

Pegadinha

A banca explora a confusão entre o comprimento da circunferência e a área do círculo. O candidato pode, por exemplo, usar o perímetro diretamente na fórmula da área, ou esquecer de elevar o raio ao quadrado. Outro erro comum é usar $\pi = 3$ em vez de 3,14, o que daria uma área de $3 \times 625 = 1.875$ m², que cairia na alternativa D. Por isso, é fundamental lembrar que o perímetro é uma medida linear e a área é uma medida quadrática.

Dica

Conclusão

A área da região isolada é de aproximadamente 1.962,5 m², que está entre 1.900 m² e 2.100 m².

Gabarito: letra B