Questão de Matemática — Funções reais de variável real (cálculo diferencial e integral) — VUNESP 2024

Taxa de variação máxima de uma função de três variáveis

Gabarito: letra C. A taxa de variação máxima de uma função diferenciável em um ponto é dada pela norma do vetor gradiente nesse ponto. Para $f(x,y,z) = \arctan(xyz)$, calculamos o gradiente em $(1,2,1)$ e obtemos $\|\nabla f(1,2,1)\| = \frac{3}{5}$.

O que é a taxa de variação máxima?

Quando temos uma função de várias variáveis, como $f(x,y,z)$, a taxa de variação da função em um ponto depende da direção em que nos movemos. A derivada direcional mede essa taxa em uma direção específica. A taxa de variação máxima é o maior valor que a derivada direcional pode assumir naquele ponto, e ela ocorre na direção do vetor gradiente. O valor dessa taxa máxima é exatamente a norma (comprimento) do vetor gradiente.

O gradiente de uma função $f$ é o vetor formado pelas derivadas parciais de primeira ordem:

Como calcular o gradiente de $f(x,y,z) = \arctan(xyz)$

Para derivar a função arco tangente, usamos a regra da cadeia. A derivada de $\arctan(u)$ é $\frac{1}{1+u^2} \cdot \frac{du}{dx}$. Vamos calcular cada derivada parcial:

1. Derivada parcial em relação a $x$: Tratamos $y$ e $z$ como constantes. A derivada de $xyz$ em relação a $x$ é $yz$.

1. Derivada parcial em relação a $y$: Tratamos $x$ e $z$ como constantes. A derivada de $xyz$ em relação a $y$ é $xz$.

1. Derivada parcial em relação a $z$: Tratamos $x$ e $y$ como constantes. A derivada de $xyz$ em relação a $z$ é $xy$.

Aplicando no ponto $(1,2,1)$

Primeiro, calculamos o produto $xyz$ no ponto: $1 \cdot 2 \cdot 1 = 2$. Assim, o denominador comum será $1 + (2)^2 = 1 + 4 = 5$.

Agora, substituímos os valores no gradiente:

• $\frac{\partial f}{\partial x}(1,2,1) = \frac{1}{5} \cdot (2 \cdot 1) = \frac{2}{5}$

• $\frac{\partial f}{\partial y}(1,2,1) = \frac{1}{5} \cdot (1 \cdot 1) = \frac{1}{5}$

• $\frac{\partial f}{\partial z}(1,2,1) = \frac{1}{5} \cdot (1 \cdot 2) = \frac{2}{5}$

Portanto, o vetor gradiente no ponto é:

Calculando a norma do gradiente

A taxa de variação máxima é a norma desse vetor:

O resultado é $\frac{3}{5}$, que corresponde à alternativa C.

A pegadinha da banca

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 1 não corresponde à norma do gradiente. Ele poderia ser obtido se o aluno calculasse incorretamente a norma como $\frac{2}{5} + \frac{1}{5} + \frac{2}{5} = 1$, somando os componentes em vez de usar a raiz quadrada da soma dos quadrados. A norma de um vetor não é a soma de suas componentes.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor $\frac{2}{5}$ é apenas a componente $\frac{\partial f}{\partial x}$ (ou $\frac{\partial f}{\partial z}$) do gradiente. O candidato que calcula uma única derivada parcial e a considera como a taxa de variação máxima comete esse erro. A taxa máxima envolve todas as direções, por isso usa-se a norma do vetor gradiente completo.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, o gradiente no ponto é $\left(\frac{2}{5}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}\right)$ e sua norma é $\sqrt{\frac{4}{25} + \frac{1}{25} + \frac{4}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$. Este é exatamente o valor da taxa de variação máxima.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor $\frac{4}{5}$ não tem relação direta com os cálculos. Ele poderia surgir de um erro ao calcular a norma, como por exemplo $\sqrt{\frac{16}{25}}$ (se o aluno elevasse $\frac{2}{5}$ ao quadrado e somasse apenas duas vezes, esquecendo o termo $\frac{1}{5}$).

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor $\frac{1}{5}$ é apenas a componente $\frac{\partial f}{\partial y}$ do gradiente. Assim como a alternativa B, representa uma derivada parcial isolada, não a taxa de variação máxima.

Gabarito: letra C