GabaritoB — 705.
Gabarito: letra B — a conta chega a O traço é 305/21, que não corresponde a nenhuma alternativa. Houve um erro no gabarito ou no enunciado..
O traço de uma matriz quadrada é a soma dos elementos da diagonal principal, ou seja, aqueles em que o número da linha é igual ao número da coluna (a11 + a22 + a33). É uma medida simples que resume a 'pegada' da matriz, mas que muda quando fazemos operações nas linhas.
O escalonamento (eliminação gaussiana) transforma a matriz em uma triangular superior usando três operações: trocar linhas, multiplicar uma linha por constante não nula e somar um múltiplo de uma linha a outra. Essas operações preservam o determinante, mas NÃO preservam o traço — por isso não há atalho: é preciso escalonar de fato e somar a diagonal resultante.
Esta questão cobra exatamente isso: realizar o escalonamento passo a passo e, ao final, somar os elementos da diagonal principal da matriz triangular obtida.
matriz M = [[1, -4, 8], [-5, -1, 10], [-3, 16, 1]]
O que queremos: o traço da matriz triangular superior obtida pelo escalonamento de M
O primeiro passo do escalonamento é usar o elemento a11 = 1 como pivô para eliminar os números abaixo dele na primeira coluna. Isso transforma a matriz em direção à forma triangular superior.
Por que esta fórmula: Para zerar o elemento da linha i na coluna 1, somamos à linha i um múltiplo da linha 1. O múltiplo é escolhido para que o primeiro termo se anule: se o elemento é -5, somamos 5 vezes a linha 1; se é -3, somamos 3 vezes.
De onde vem cada valor: = enunciado: [1, -4, 8] · = enunciado: [-5, -1, 10] · = enunciado: [-3, 16, 1] · = constante: para zerar -5, somamos 5 vezes a linha 1 · = constante: para zerar -3, somamos 3 vezes a linha 1
= matriz [[1, -4, 8], [0, -21, 50], [0, 4, 25]]
Errar o sinal ao somar: por exemplo, usar L_2 - 5L_1 em vez de L_2 + 5L_1, o que não zera o -5.
Agora a matriz já tem zeros na primeira coluna abaixo do pivô. Falta zerar o elemento 4 na posição (3,2) para completar a forma triangular superior.
Por que esta fórmula: O pivô é -21 na posição (2,2). Para zerar o 4, somamos à linha 3 um múltiplo da linha 2: o múltiplo é 4/21, pois 4 + (4/21)*(-21) = 0.
De onde vem cada valor: = passo 1: [0, 4, 25] · = passo 1: [0, -21, 50] · = passo 1: elemento (3,2) da matriz resultante · = passo 1: valor absoluto do elemento (2,2) da matriz resultante
= matriz triangular superior [[1, -4, 8], [0, -21, 50], [0, 0, 725/21]]
Esquecer de aplicar o múltiplo a todos os elementos da linha, ou errar a fração 4/21.
A matriz já está triangular superior, então o traço é simplesmente a soma dos elementos da diagonal: 1, -21 e 725/21. Somamos agora para obter o resultado final.
Por que esta fórmula: O traço é definido como a soma dos elementos da diagonal principal. Não há outra fórmula: é só somar.
De onde vem cada valor: = passo 2: elemento (1,1) · = passo 2: elemento (2,2) · = passo 2: elemento (3,3)
Somar os elementos da diagonal da matriz original (1 + (-1) + 1 = 1) em vez da triangular escalonada.
Resposta: O traço é 305/21, que não corresponde a nenhuma alternativa. Houve um erro no gabarito ou no enunciado.
Link permanente: /questoes/vu206665