Questão de Matemática — Sistemas Lineares — VUNESP 2024

Sistemas Lineares: classificação por determinante e escalonamento

Gabarito: letra D. O sistema tem solução única quando o determinante da matriz dos coeficientes é diferente de zero, o que ocorre exatamente quando $n \neq 5$, independentemente do valor de $m$ — é o que a alternativa D afirma. A condição sobre $m$ (ser ou não $2/3$) só decide entre sistema impossível e sistema possível indeterminado quando $n = 5$, nunca quando $n \neq 5$.

A ideia por trás

Um sistema linear de $n$ equações e $n$ incógnitas pode ser classificado em três tipos, conforme o número de soluções:

• Sistema Possível e Determinado (SPD): tem exatamente uma solução. Ocorre quando o determinante da matriz dos coeficientes é diferente de zero ($D \neq 0$).

• Sistema Possível e Indeterminado (SPI): tem infinitas soluções. Ocorre quando $D = 0$ e as equações são consistentes entre si (não há contradição).

• Sistema Impossível (SI): não tem solução. Ocorre quando $D = 0$ e as equações são inconsistentes (há uma contradição, como $0 = 1$).

O Teorema de Cramer garante que, se $D \neq 0$, o sistema é SPD. Quando $D = 0$, precisamos analisar o sistema por escalonamento (ou comparar as equações) para decidir entre SPI e SI.

Resolvendo a questão

Vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes:

Aplicando a regra de Sarrus:

Portanto:

• Se $n \neq 5$, então $D \neq 0$ e o sistema é SPD (solução única), independentemente de $m$.

• Se $n = 5$, então $D = 0$ e precisamos analisar o caso particular.

O caso $n = 5$

Substituindo $n = 5$ no sistema:

Vamos escalonar. Subtraindo a primeira equação da segunda ($L_2 - L_1$):

Subtraindo $2 \times$ a primeira equação da terceira ($L_3 - 2L_1$):

Agora temos o sistema equivalente:

Da terceira equação, $z = 1 - m + y$. Substituindo na primeira:

Mas a segunda equação diz que $x + 3y = 1 - m$. Para o sistema ser consistente, precisamos que:

• Se $m = 2/3$, as equações são consistentes e o sistema tem infinitas soluções (SPI).

• Se $m \neq 2/3$, há contradição e o sistema é impossível (SI).

Análise das alternativas

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que com $m = 2/3$ o sistema tem infinitas soluções independentemente de $n$. Isso só é verdade quando $n = 5$. Se $n \neq 5$, o determinante é diferente de zero e o sistema tem solução única, não infinitas. A condição $m = 2/3$ só garante SPI no caso particular $n = 5$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que com $n = 5$ o sistema tem infinitas soluções independentemente de $m$. Quando $n = 5$, o sistema só tem infinitas soluções se $m = 2/3$. Se $m \neq 2/3$, o sistema é impossível (não tem solução). Portanto, depende do valor de $m$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que com $m \neq 2/3$ o sistema não tem solução independentemente de $n$. Isso só é verdade quando $n = 5$. Se $n \neq 5$, o determinante é diferente de zero e o sistema tem solução única, não é impossível.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que com $n \neq 5$ o sistema tem solução única independentemente de $m$. Isso é exatamente o que o determinante mostra: $D = 2n - 10 \neq 0$ quando $n \neq 5$, garantindo SPD pelo Teorema de Cramer. O valor de $m$ não afeta o determinante, então a solução é única para qualquer $m$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que com $m \neq 2/3$ o sistema tem solução única independentemente de $n$. Isso só é verdade quando $n \neq 5$. Se $n = 5$ e $m \neq 2/3$, o sistema é impossível, não tem solução única.

Resumo prático

Gabarito: letra D