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Questão de Matemática — Álgebra linear avançada (vetores, matrizes e espaços vetoriais) — VUNESP 2024

MatemáticaÁlgebra linear avançada (vetores, matrizes e espaços vetoriais)
Código
vu206667
Banca
VUNESP
Órgão
EsFCEx
Ano
2024
Cargo
CFO/QC ( )
No espaço vetorial M_2(\mathbb{R}), considere os seguintes subespaços vetoriais: E = \left\{ (xyzt)\begin{pmatrix} x & y \\ z & t \end{pmatrix} \middle| x - 2y + 3z - t = 0 \right\}   F = \left[ (1002)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} ; (010−3)\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -3 \end{pmatrix} ; (0014)\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \right] Uma base para a soma E + F é:
  1. A\left\{ (1001)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ; (010−2)\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} ; (0013)\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} ; (0001)\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right\}
  2. B\left\{ (1001)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ; (010−2)\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} ; (0013)\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} ; (110−1)\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \right\}
  3. C\left\{ (1001)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ; (010−2)\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} ; (0013)\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} ; (2−1−5−11)\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & -11 \end{pmatrix} \right\}
  4. D\left\{ (1001)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ; (010−2)\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} ; (0001)\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right\}
  5. E\left\{ (1002)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} ; (010−3)\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -3 \end{pmatrix} ; (1002)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \right\}
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ; \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} ; \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} ; \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right\}

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Soma de subespaços vetoriais em M₂(ℝ)

Gabarito: letra A. A soma E + F tem dimensão 4 (é o espaço inteiro M₂(ℝ)), e a alternativa A apresenta exatamente 4 matrizes linearmente independentes que geram M₂(ℝ) — logo, formam uma base para E + F. O ponto central é calcular as dimensões de E e F, a dimensão da interseção E ∩ F e aplicar a fórmula de Grassmann: dim(E + F) = dim E + dim F − dim(E ∩ F).

O que está em jogo

O espaço vetorial M₂(ℝ) é o conjunto de todas as matrizes 2×2 com entradas reais. Ele tem dimensão 4, pois uma base canônica é formada pelas matrizes com 1 em uma posição e 0 nas demais:

{(1000),(0100),(0010),(0001)}\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right\}

Um subespaço vetorial é um subconjunto que é fechado para a soma e para a multiplicação por escalar. A soma de dois subespaços E + F é o conjunto de todas as somas u + v, com u ∈ E e v ∈ F. A fórmula de Grassmann relaciona as dimensões:

dim⁡(E+F)=dim⁡E+dim⁡F−dim⁡(E∩F)\dim(E + F) = \dim E + \dim F - \dim(E \cap F)

Determinando as dimensões

Subespaço E: definido pela equação x − 2y + 3z − t = 0. Essa é uma equação linear homogênea em 4 variáveis (as entradas da matriz). O conjunto solução de um sistema homogêneo com 1 equação e 4 incógnitas tem dimensão 4 − 1 = 3. Portanto, dim E = 3.

Subespaço F: gerado por 3 matrizes:

F=[(1002),(010−3),(0014)]F = \left[ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \right]

Essas matrizes são linearmente independentes? Vamos verificar. Escrevendo uma combinação linear nula:

a·(1,0,0,2) + b·(0,1,0,−3) + c·(0,0,1,4) = (0,0,0,0)

Isso dá o sistema:

  • a = 0

  • b = 0

  • c = 0

  • 2a − 3b + 4c = 0

As três primeiras equações já forçam a = b = c = 0. Logo, as matrizes são linearmente independentes e dim F = 3.

Calculando a interseção

Um elemento de F é da forma:

(abc2a−3b+4c)\begin{pmatrix} a & b \\ c & 2a - 3b + 4c \end{pmatrix}

Para estar em E, deve satisfazer x − 2y + 3z − t = 0, ou seja:

a − 2b + 3c − (2a − 3b + 4c) = 0

Simplificando: a − 2b + 3c − 2a + 3b − 4c = −a + b − c = 0, logo a = b − c.

Assim, os elementos de E ∩ F são da forma:

(b−cbc2(b−c)−3b+4c)=(b−cbc−b+2c)\begin{pmatrix} b-c & b \\ c & 2(b-c) - 3b + 4c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b-c & b \\ c & -b + 2c \end{pmatrix}

Podemos escrever como combinação linear:

(b−c, b, c, −b+2c) = b·(1,1,0,−1) + c·(−1,0,1,2)

Esses dois vetores são linearmente independentes (não são múltiplos). Logo, dim(E ∩ F) = 2.

Aplicando Grassmann

dim(E + F) = 3 + 3 − 2 = 4

Como M₂(ℝ) tem dimensão 4 e E + F é um subespaço de M₂(ℝ) com dimensão 4, concluímos que E + F = M₂(ℝ). Portanto, uma base para E + F é qualquer base de M₂(ℝ), ou seja, 4 matrizes linearmente independentes.

Analisando as alternativas

EF112LEVELsoulevel.com.br
Subespaços vetoriais em M₂(ℝ) — só E: 1; só F: 1; E∩F: 2

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

As matrizes são:

(1001),(010−2),(0013),(0001)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Vamos verificar se são linearmente independentes. Escrevendo a combinação linear nula:

a·(1,0,0,1) + b·(0,1,0,−2) + c·(0,0,1,3) + d·(0,0,0,1) = (0,0,0,0)

Isso gera o sistema:

  • a = 0

  • b = 0

  • c = 0

  • a − 2b + 3c + d = 0

Das três primeiras equações, a = b = c = 0, e substituindo na quarta, d = 0. Logo, são linearmente independentes. Como são 4 matrizes LI em um espaço de dimensão 4, formam uma base de M₂(ℝ) e, portanto, de E + F.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A quarta matriz é:

(110−1)\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

Vamos verificar a independência linear com as três primeiras. A combinação nula:

a·(1,0,0,1) + b·(0,1,0,−2) + c·(0,0,1,3) + d·(1,1,0,−1) = (0,0,0,0)

Gera o sistema:

  • a + d = 0

  • b + d = 0

  • c = 0

  • a − 2b + 3c − d = 0

Da primeira, a = −d; da segunda, b = −d; da terceira, c = 0. Substituindo na quarta: (−d) − 2(−d) + 0 − d = −d + 2d − d = 0. Isso é sempre verdadeiro, independentemente de d. Portanto, existem soluções não triviais (por exemplo, d = 1, a = −1, b = −1, c = 0). As matrizes são linearmente dependentes, logo não formam uma base.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A quarta matriz é:

(2−1−5−11)\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & -11 \end{pmatrix}

Vamos verificar a independência. A combinação nula:

a·(1,0,0,1) + b·(0,1,0,−2) + c·(0,0,1,3) + d·(2,−1,−5,−11) = (0,0,0,0)

Gera o sistema:

  • a + 2d = 0

  • b − d = 0

  • c − 5d = 0

  • a − 2b + 3c − 11d = 0

Da primeira, a = −2d; da segunda, b = d; da terceira, c = 5d. Substituindo na quarta: (−2d) − 2(d) + 3(5d) − 11d = −2d − 2d + 15d − 11d = 0. Isso é sempre verdadeiro. Logo, há dependência linear (por exemplo, d = 1, a = −2, b = 1, c = 5). Não formam uma base.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Esta alternativa tem apenas 3 matrizes:

(1001),(010−2),(0001)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Como E + F tem dimensão 4, uma base precisa ter exatamente 4 elementos. Com apenas 3 matrizes, o conjunto não pode gerar todo o espaço E + F. Portanto, não é uma base.

Alternativa E — ❌ Incorreta

As matrizes são:

(1002),(010−3),(1002)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}

A primeira e a terceira matriz são idênticas. Portanto, o conjunto tem apenas 2 matrizes distintas, claramente insuficiente para gerar um espaço de dimensão 4. Além disso, há dependência linear evidente.

Resumo do método

Para encontrar uma base da soma de subespaços, o caminho é:

  1. Determinar dim E e dim F (contando equações independentes ou geradores independentes).

  2. Determinar dim(E ∩ F) resolvendo as condições de pertencimento simultâneo.

  3. Aplicar a fórmula de Grassmann para obter dim(E + F).

  4. Se dim(E + F) = dim do espaço ambiente, então E + F é o espaço inteiro, e qualquer base do espaço serve.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre gerar o espaço e ser uma base. As alternativas B e C contêm 4 matrizes, mas uma delas é combinação linear das outras — o candidato que apenas conta o número de matrizes pode marcar errado. A alternativa D tem apenas 3 matrizes, insuficientes para um espaço de dimensão 4. A alternativa E repete uma matriz, reduzindo o conjunto a 2 elementos. A chave é sempre verificar a independência linear.

Gabarito: letra A

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